山东省烟台市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在坐标平面 $O y z$ 上的投影向量是（）

A、 $(0 ， 2 ， 3)$ B、 $(0 ， 2 ， - 3)$ C、 $(1 ， 2 ， 0)$ D、 $(1 ， 2 ， - 3)$

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2. 已知过坐标原点的直线 $l$ 经过点 $A (3 ， \sqrt{3})$ ，直线 $n$ 的倾斜角是直线 $l$ 的2倍，则直线 $n$ 的斜率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 已知点 $A (x ， 3 ， - 1)$ ， $B (1 ， 0 ， 3)$ ， $C (x ， 1 ， 4)$ ，若 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、0或 $- 2$ D、0或2

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4. 以点 $(- 3 ， 1)$ 为圆心，且与直线 $3 x + 4 y = 0$ 相切的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

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5. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $M$ 是底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，若 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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6. 若直线 $a x + b y - 1 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相离，则过点 $P (a ， b)$ 的直线与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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7. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 均是边长为2的正三角形， $△ A B D$ 是以 $B D$ 为斜边的等腰直角三角形，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 设过点 $(0 ， 3)$ 的直线与圆 ${(x - 6)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则经过 $A B$ 中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{3}{4})$ B、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{4} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{3}{4})$

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二、多选题

9. 下列命题正确的有（）

A、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任意一个向量都不能构成基底，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 一定不共面 C、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一组基底，则 ${\vec{a} ， \vec{a} + \vec{c} ， \vec{b} + \vec{c}}$ 也是空间的一组基底 D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一组基底，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ ， $3 \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c}$ 共面

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10. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $A B$ 的直线方程为 $4 x - 4 y + 5 = 0$ B、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{14}}{8}$ C、圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公切线长为 $\sqrt{7}$ D、线段 $A B$ 的中垂线方程为 $x + y - 2 = 0$

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11. 已知直线 $l ： x \sin α - y \cos α - 1 = 0$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 6$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $△ A O B$ 的面积为定值 B、 $\cos ∠ A O B = - \frac{2}{3}$ C、圆 $O$ 上总存在3个点到直线 $l$ 的距离为2 D、线段 $A B$ 中点的轨迹方程是 $x^{2} + y^{2} = 1$

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C // A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D = P C = 2 C D = 2 C B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，则下列结论正确的有（）

A、 $C E ∥$ 平面 $P A B$ B、平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ C、点 $E$ 到平面 $P A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、二面角 $A - P B - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为．

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14. 已知 $O$ 为空间中一点， $A ， B ， C ， D$ 四点共面且任意三点不共线，若 $2 \vec{B D} = x \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $x$ 的值为．

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15. 在平面直角坐标系中， $M$ ， $N$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点，若以 $M N$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为．

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16. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此四棱锥的侧棱长为 $4 \sqrt{21}$ 米，侧面与底面的夹角为30°，则此四棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为．

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四、解答题

17. 已知圆 $M$ 经过两点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 且圆心在直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (1 ， 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，且 $| C D | = 2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D ∥ B Q$ ，且 $P D = 2 B Q = 2$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ A C$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P A Q$ 所成角的大小．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2 A D = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、求直线 $P A$ 到平面 $B D E$ 的距离；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值．

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20. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m = 0$ ．

(1)、若圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0$ 外切，求 $m$ 的值；

(2)、当 $m = 1$ 时，由直线 $l ： x - y + 4 = 0$ 上任意一点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ （ $A$ ， $B$ 为切点），试探究四边形 $P A C B$ 的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

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21. 在如图所示的几何体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 与 $△ B_{1} C_{1} A_{1}$ 为全等的等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90 °$ ，四边形 $B A A_{1} B_{1}$ 为正方形，且 $B_{1} C_{1} ∥ A C$ ， $A A_{1} ⊥ A C$ ．已知平面 $A A_{1} C_{1} \cap$ 平面 $B B_{1} C_{1} = l$ ．

(1)、求证： $l ∥ A A_{1}$ ；

(2)、已知 $A B = 1$ ， $P$ 为 $l$ 上一点，求直线 $A P$ 与平面 $B P C$ 所成角的正弦值的最大值．

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22. 如图，经过原点 $O$ 的直线与圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点，过点 $C (1 ， 0)$ 且与 $A B$ 垂直的直线与圆 $M$ 的另一个交点为 $D$ ．

(1)、当点 $B$ 坐标为 $(- 1 ， - 2)$ 时，求直线 $C D$ 的方程；

(2)、记点 $A$ 关于 $x$ 轴对称点为 $F$ （异于点 $A ， B$ ），求证：直线 $B F$ 恒过 $x$ 轴上一定点，并求出该定点坐标；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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