山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线l的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则l的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知 $\vec{a} = (2 x ， 1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， - 2 y ， 9)$ ，如果 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、0 C、 $\frac{4}{3}$ D、—1

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3. 过点 $P (2 ， 1)$ 且与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $2 x + y + 5 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 2 y + 5 = 0$

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4. 在棱长为4正四面体 $P - A B C$ 中，E是棱AB中点，则 $\vec{P E} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{14}{3}$

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5. 已知直线 $l ： x - y + 2 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y - 2 m = 0$ 相离，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{4})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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6. 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（）

A、 $\sqrt{2.8}$ B、2.8 C、 $\sqrt{2.9}$ D、2.9

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ，过A₁ ， $C_{1}$ ， B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ ，且这个几何体的体积为10，则点D到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ B、 $\frac{3 \sqrt{22}}{11}$ C、 $\frac{4 \sqrt{22}}{11}$ D、 $\frac{6 \sqrt{22}}{11}$

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二、多选题

9. 关于直线 $l ： a x - y + a = 0$ ，以下说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(- 1 ， 0)$ B、 $a > 0$ 时，直线l过第一，二，三象限 C、 $a <0$ 时，直线l不过第三象限 D、原点到直线l的距离的最大值为1

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10. 已知向 $\vec{A B} = (2 ， 1 ， 0) ， \vec{A C} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0)$ C、 $\vec{A B}$ 和 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $- \frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面ABC的一个法向量是 $(1 ， 2 ， 5)$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线l交椭圆于A ， B两点.则下列说法正确的是（）

A、△ABF₂的周长为12 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为 $\frac{26}{3}$ D、△ABF₂面积最大值为 $\frac{20}{3}$

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得，阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ $(λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知在平面直角坐标系xOy中， $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点P所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）

A、C的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在C上存在点D ，使得D到点（1，1）的距离为9 C、在C上存在点M ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ D、C上的点到直线 $3 x - 4 y - 13 = 0$ 的最大距离为9

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三、填空题

13. 过点 $(- 1 ， 2)$ 与 $(3 ， 5)$ 的直线的一般式方程为.

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14. 写出与两圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 ， x^{2} + y^{2} - 10 x + 6 y + 18 = 0$ 均相切的一条直线方程为.

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15. 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA₁＝2，点D是A₁C₁的中点，则异面直线AD和BC₁所成角的大小为．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点A关于原点的对称点为B ， F为其右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = α$ ，且 $α \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ ，则该椭圆离心率e的最大值为.

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四、解答题

17. 已知直线l的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，且在y轴上的截距为3.

(1)、求直线l的方程，并把它化成一般式；

(2)、若直线 $| m | x + 8 y - 6 m = 0$ 与直线l平行，求m的值

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18. 已知空间三点 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (1 ， 1 ， 1)$ ， $C (- 3 ， 1 ， a)$ ，求：

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ ，求实数a；

(2)、若 $a = 5$ ， △ABC的面积.

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19. 已知以点 $A (- 1 ， 2)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} ： x + 2 y + 7 = 0$ 相切，过点 $B (- 2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与圆A相交于 $M ， N$ 两点.

(1)、求圆A的方程；

(2)、当 $| M N | = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，椭圆 $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的方程；

(2)、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C_{2}$ 的两焦点，若点P在椭圆 $C_{2}$ 上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{4}$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积.

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，PC⊥平面ABCD ， $P C = 2$ ，在四边形ABCD中，∠B $= ∠ C = 90^{\circ} ， A B = 4 ， C D = 1$ ， PB与平面ABCD成 $30^{\circ}$ 的角，点M在PB上，且CM∥平面PAD.

(1)、求 $\frac{P B}{P M}$ 的值；

(2)、求点C到平面PAD的距离.

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22. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m \in R ， m \neq 0$ 且 $m \neq 3)$

(1)、若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，过C的右焦点 $F$ 且斜率为k $(k \neq 0)$ 的直线l交曲线C于点A、B（A ， B异于顶点），交直线 $x = 2$ 于P.过点P作y轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ交x轴于点E ，直线BQ交x轴于D ，求证： $| E F | = | D F |$ .

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