辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列命题中正确的是（）．

A、若直线的倾斜角为 $α$ ，则直线的斜率为 $tan α$ B、若直线的斜率为 $tan α$ ，则此直线的倾斜角为 $α$ C、平行于x轴的直线的倾斜角为 $180^{\circ}$ D、若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 $90^{\circ}$

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2. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2y的焦点为F，准线为 $l$ ，则点F到准线 $l$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ 被 $x$ 轴所截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知空间的一组基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ ，若 $\vec{m} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\overset{⇀}{n} = x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ 共线，则 $x + y$ 的值为（）．

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、0

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5. 直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形， AA₁＝AB ， M是A₁C₁的中点，则AM与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{85}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{10}$

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6. “ $a = 2$ ”是“直线 $l_{1}$ ： $2 a x + 4 y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x - {(a - 1)}^{2} y - 5 = 0$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与x轴交于Q，若 $\vec{O Q} = \frac{1}{4} \vec{O F_{2}}$ ，则双曲线的离心率范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $(\sqrt{2} ， 2)$ D、 $(\sqrt{2} ， 4)$

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8. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E 、 F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $B_{1} E F$ 的距离等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、多选题

9. （多选题）下面四个结论正确的是（）

A、空间向量 $\vec{a} ， \vec{b} (\vec{a} \neq \vec{0} ， \vec{b} \neq \vec{0})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P ， A ， B ， C$ 四点共面 C、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的一组基底 D、任意向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $8$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围为 $[2 ， 3)$ D、 $| P F_{1} | | P F_{2} |$ 的取值范围为 $(3 ， 4]$

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11. 已知直线 $l ： k x - y - k + 1 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在 $k$ ，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、对任意 $k$ ，圆 $C$ 上恒有4个点到直线的距离为 $\frac{1}{2}$ D、当 $k = 2$ 时，对任意 $λ \in R$ ，曲线 $E ： x^{2} + y^{2} + (2 λ - 4) x - λ y - λ = 0$ 恒过直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点

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12. 已知 $A_{1} 、 A_{2}$ 是椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 长轴上的两个顶点，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1} 、 A_{2}$ 的任意一点，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $x$ 轴对称，则下列四个命题中正确的是（）

A、直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率之积为定值 $- \frac{4}{3}$ B、 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} < 0$ C、 $△ P A_{1} A_{2}$ 的外接圆半径的最大值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ D、直线 $P A_{1}$ 与 $Q A_{2}$ 的交点 $M$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ 为平面 $α$ 的法向量，点 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ 在 $α$ 内，点 $P (1 ， 2 ， - 2)$ 在 $α$ 外，则点P到平面 $α$ 的距离为．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 4 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则直线 $l$ 的方程为.

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，点 $M (- \frac{p}{2} ， p)$ ，若直线 $M A ， M B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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16. 如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：
①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AE；
③三棱锥B−GHF的体积为定值；
④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为 $14 π$ ．
其中正确的结论序号为．（填写所有正确结论的序号）

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1 ， 2)$ ， AC边上的高BD所在直线方程为 $x - 2 y = 0$ ． AC边上的中线BE所在直线方程为 $x - 4 y - 2 = 0$ ．

(1)、求点B的坐标；

(2)、求点C的坐标及BC边所在直线方程．

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18. 如图，已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A A_{1}$ ， $E$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $D_{1} E$ 和 $D C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $D_{1} E$ 与平面 $D F C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知圆C的圆心C在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，且与直线 $2 x + 3 y - 10 = 0$ 相切于点 $P (2 ， 2)$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若过点 $Q (2 ， 3)$ 的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程．

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20. 如图在四棱锥 $P － A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $C - P D - A$ 的正弦值；

(3)、线段 $A D$ 上是否存在 $Q$ ，使得它到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{A Q}{Q D}$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知O为坐标原点，过点 $F (1 ， 0)$ 的圆M与直线 $l ： x = - 1$ 相切，设圆心M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $F (1 ， 0)$ 的直线交曲线C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点 $P (4 ， 0)$ ，求线段AB的长．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于 $P ， Q$ 两点，且当l垂直于x轴时， $P Q = 6$ ；

(1)、求双曲线的方程；

(2)、过点F且垂直于l的直线 $l'$ 与双曲线交于 $M ， N$ 两点，求 $\vec{M P} \cdot \vec{N Q} + \vec{M Q} \cdot \vec{N P}$ 的取值范围．

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