江苏省南通市如东县2022-2023学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 经过点 $P (1 ， \sqrt{3})$ 、 $Q (4 ， 0)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 为（）

A、90° B、120° C、135° D、150°

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2. 抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{4}$ C、 $x = - \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{16}$

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3. $a = 0$ 是直线 $x + 2 a y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x + a y + 1 = 0$ 平行的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既非充分又非必要

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4. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（）

A、107钱 B、102钱 C、101钱 D、94钱

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点为 $F ， P$ 是 $C$ 上一点， $M$ 是圆 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则 $| P M | + | P F |$ 的最大值为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点 $F$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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7. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 64$ 上的动点作圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 16$ 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆 $C$ 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $12 π$

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8. 在平面直角坐标系中，定义 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点之间的折线距离为 $d (P ， Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，设点P是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，点Q是直线 $3 x - 4 y - 9 = 0$ 上一点，则 $d (P ， Q)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、多选题

9. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{4} = 0 ， a_{5} = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} + a_{3} = 0$ B、 $a_{n} = 2 n - 5$ C、 $S_{n} = n (n - 4)$ D、 $d = - 2$

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10. 已知直线 $l ： (m - 1) x + 2 m y - 3 m + 3 = 0$ ， $m \in R$ 和圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、直线l恒过定点 $(3 ， 0)$ B、圆C被x轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ C、直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为 $2 \sqrt{2}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交 $C$ 的左支于 $M ， N$ 两点，直线 $l$ ： $x - 2 y = 0$ 为 $C$ 的一条渐近线，则下列说法正确的有（）

A、 $a =2$ B、存在点 $M$ ，使得 $| M F | = 5 - \sqrt{3}$ C、 $| M N |$ 的最小值为1 D、点 $M$ 到直线 $l'$ ： $x - 2 y - 2022 = 0$ 距离的最小值为2022

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12. 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 外一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，如果 $k_{P A} \cdot k_{P B} = m (m < 0)$ ，那么点 $P$ 的轨迹可能是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、线段

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 20$ ， $S_{30} = 90$ ，则 $S_{20} =$

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14. 如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为cm．

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15. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 的交点为A ， B ，则弦AB的长为．

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16. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $P ， Q$ 是椭圆上两点，线段 $P Q$ 经过点 $F_{1}$ ，且 $P Q ⊥ P F_{2} ， | P Q | = \frac{3}{4} | P F_{2} |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + 3 y - 8 = 0$ 的交点为 $M$ .

(1)、求过点 $M$ 且与直线 $l_{3}$ ： $x + 3 y + 1 = 0$ 垂直的直线的方程；

(2)、求过点 $M$ ，且点 $P (4 ， 0)$ 到它的距离为3的直线的方程.

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18. 已知点 $M$ 到点 $O (0 ， 0)$ 的距离与点 $M$ 到点 $A (2 ， 0)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求 $M$ 点的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过 $O A$ 的中点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与（1）中的曲线 $C$ 交于 $E ， F$ 两点，求 $△ A E F$ 的面积．

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ .

(1)、求证：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 9 - a_{n}$ ， $T_{n}$ 是 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $T_{n} \leq a^{2} - a$ 对于 $\forall n \in N_{+}$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C$ 的两个焦点为 $(- 1 ， 0) ， (1 ， 0)$ ，点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 的斜率之和为0.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 的斜率.

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21. 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M ， N ，过点M作x轴的垂线分别与直线OP ， ON交于点A ， B ，其中O为原点．

(1)、求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)、求证：A为线段BM的中点．

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22. 在一张纸上有一个圆 $C$ ： ${(x + \sqrt{5})}^{2} + y^{2} = 4$ ，定点 $M (\sqrt{5} ， 0)$ ，折叠纸片使圆 $C$ 上某一点 $M_{1}$ 好与点 $M$ 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 $P Q$ ，设折痕 $P Q$ 与直线 $M_{1} C$ 的交点为 $T$ ．

(1)、求证： $| | T C | - | T M | |$ 为定值，并求出点 $T$ 的轨迹 $C^{'}$ 方程；

(2)、设 $A (- 1 ， 0)$ ， $M$ 为曲线 $C^{'}$ 上一点， $N$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点（ $M$ ， $N$ 均不在 $x$ 轴上）．直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = - \frac{1}{4} k_{1}$ ，求证：直线 $M N$ 过定点，并求出此定点的坐标．

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