湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 点 $A (3 ， - 5 ， 7)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 3 ， - 5 ， - 7)$ B、 $(- 3 ， - 5 ， 7)$ C、 $(3 ， - 5 ， - 7)$ D、 $(- 3 ， 5 ， - 7)$

查看试题解析
2. 若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ 相外切，则实数 $m =$ （）

A、-3 B、3 C、 $\pm 3$ D、1

查看试题解析
3. 已知圆 $M$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ， $M$ 为圆心， $P$ 为圆上任意一点，定点 $A (2 ， 0)$ ，线段 $P A$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $P M$ 相交于点 $Q$ ，则当点 $P$ 在圆上运动时，点 $Q$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (x \leq - 2)$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \leq - 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

查看试题解析
4. 已知空间向量 $\vec{a} = (3 ， 4 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1 ， 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是（）

A、 $(- 3 ， - 4 ， 0)$ B、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5} ， 0)$ C、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{1}{5} ， - \frac{4}{5})$ D、 $(3 ， - 1 ， - 4)$

查看试题解析
5. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $| \overset{⇀}{B F_{2}} | + | \overset{⇀}{A F_{2}} |$ 的最大值为5，则 $b$ 的值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
6. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ，若 $\vec{C_{1} M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 1)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 1)$

查看试题解析
7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（）

A、若 $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A D_{1}}$ ，则异面直线BP与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + \vec{B B_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积不是定值 C、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B B_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，有且仅有一个点P ，使得 $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B_{1} P$ D、若 $\vec{A P} = λ \vec{A D_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，则异面直线BP和 $C_{1} D$ 所成角取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， C$ 的上顶点为 $A$ ，左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D ， E$ 两点， $| D E | = 6$ ，则 $△ A D E$ 的周长是（）

A、19 B、14 C、 $\frac{25}{2}$ D、13

查看试题解析

二、多选题

9. 若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $1 < t < 4$ ，则曲线 $C$ 为椭圆 B、若曲线 $C$ 为双曲线，则 $t < 1$ 或 $t > 4$ C、曲线 $C$ 不可能是圆 D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$

查看试题解析
10. 在三维空间中，定义向量的外积： $\vec{a} \times \vec{b}$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ， $\vec{b} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；

② $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ， ( $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角)．

在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有以下四个结论，正确的有（　　　）

A、 $| \vec{A B_{1}} \times \vec{A C} | = | \vec{A D_{1}} \times \vec{D B} |$ B、 $\vec{A_{1} C_{1}} \times \vec{A_{1} D}$ 与 $\vec{B D_{1}}$ 共线 C、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A D} \times \vec{A B}$ D、 $6 | \vec{B C} \times \vec{A C} |$ 与正方体表面积的数值相等

查看试题解析
11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，点P在椭圆C上，点Q在圆E： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5} - 6$ ，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的焦距为1 B、椭圆C的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、过点F的圆E的切线斜率为 $\frac{- 4 \pm \sqrt{7}}{3}$

查看试题解析
12. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $5$ 的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $P$ 为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上一动点（点 $P$ 与点 $A$ ， $D$ 不重合），下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B D$ 的四个面都是直角三角形 B、三棱锥 $P - A B D$ 的体积最大值为 $\frac{125}{4}$ C、异面直线 $P A$ 与 $B C$ 的距离是定值 D、当直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角最大时，平面 $P A B$ 截四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的截面面积为 $\frac{25 \sqrt{2} π}{4}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知，空间直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ．经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (A ， B ， C)$ 的直线方程为 $\frac{x - x_{0}}{A} = \frac{y - y_{0}}{B} = \frac{z - z_{0}}{C}$ ．用以上知识解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ ，直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 1}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为．

查看试题解析
14. 若 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ ， $Q$ 为椭圆 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为．

查看试题解析
15. 已知圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0) .$ 设 $P$ 是圆 $C$ 上的动点，令 $d = {| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ ，则 $d$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 与另一点 $Q$ （ $Q$ 不与 $A ， B$ 重合）．设 $△ A B Q$ 的外心为 $G$ ，则 $\frac{| A B |}{| G F_{2} |}$ 的值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：

(1)、若BC的中点为D，求直线AD的方程；

(2)、求△ABC的面积．

查看试题解析
18. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\frac{c}{c o s C} = \frac{a + b}{c o s A + c o s B}$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 $△ A B D$ 面积的取值范围.

查看试题解析
19. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $2 \sqrt{6}$ ， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B = \sqrt{5}$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $D$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点（包括端点）．

(1)、求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值的取值范围．

查看试题解析
20. 已知圆 $C$ 的圆心 $C$ 在直线 $l_{1}$ ： $2 x - y - 1 = 0$ 上，且与直线 $l_{2}$ ： $x + y - 4 = 0$ 相切于点 $P (2 ， 2)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(2 ， 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M C N = 90 °$ ，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
21. 如图， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 为圆柱 $O O_{1}$ 的母线， $B C$ 是底面圆 $O$ 的直径， $D$ ， $E$ 分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点， $D E ⊥$ 面 $C B B_{1}$ ．

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $B B_{1} = B C$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C$ 的夹角余弦值．

查看试题解析
22. 已知直线 $l ： y = \frac{b}{a} x + m (m \in R)$ 与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于点A ， B ，与x轴交于点C ，与y轴交于点D.当直线l经过椭圆E的左顶点时，椭圆E两焦点到直线l的距离之比为 $5：1$ .

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、若 ${| A C |}^{2} + {| B C |}^{2} = 14$ ，求 ${| A D |}^{2} + {| B D |}^{2}$ 的值.

查看试题解析