广东省广州市越秀区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}}$ ， $B = {x | 2 x - 3 < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $[2 ， 5)$ C、 $[\frac{5}{2} ， 5)$ D、 $[0 ， 5)$

查看试题解析
2. 若直线 $a x + b y + c = 0$ 的倾斜角为 $120 °$ ，则（）

A、 $a - \sqrt{3} b = 0$ B、 $a + \sqrt{3} b = 0$ C、 $\sqrt{3} a - b = 0$ D、 $\sqrt{3} a + b = 0$

查看试题解析
3. 已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ 的平均数为 $4$ ，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 x_{n} - 1$ 的平均数为（）

A、 $16$ B、 $15$ C、 $8$ D、 $7$

查看试题解析
4. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5 ， 5)$ ， AC边上的高所在直线方程为 $3 x + 2 y - 7 = 0$ ，则AC所在直线的方程为（）

A、 $x - 2 y + 5 = 0$ B、 $2 x - 3 y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y - 15 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 5 = 0$

查看试题解析
5. 下列区间中，函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ 单调递减的是（）

A、 $(π ， \frac{10π}{9})$ B、 $(\frac{2π}{3} ， π)$ C、 $(\frac{2π}{9} ， \frac{2π}{3})$ D、 $(\frac{π}{9} ， \frac{π}{2})$

查看试题解析
6. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} + \vec{c}$ B、 $3 \vec{a} - \vec{c} ， \vec{a} + \vec{b} ， 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{a} + \vec{c} ， \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{c}$

查看试题解析
7. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖．”一个长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿对角面斜解（图 $1$ ），得到两个一模一样的堑堵（图 $2$ ），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图 $2$ ），得到一个四棱锥，称为阳马（图 $3$ ），一个三棱锥称为鳖臑（图 $4$ ）．若鳖臑的体积为 $4$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，则在鳖臑中，平面 $B C D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ B、 $\frac{6 \sqrt{65}}{65}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{65}}{65}$

查看试题解析
8. 已知圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 10$ ，直线 $l ： x + 3 y + m = 0$ ，若 $l$ 上存在点 $P$ ，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，使得 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{10} ， 2 \sqrt{10}]$ B、 $[- 10 ， 19]$ C、 $[- 21 ， 19]$ D、 $[- 19 ， 21]$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $A (2 ， 0 ， 4)$ ， $B (1 ， 1 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} = (- 4 ， 2 ， - 7)$ B、 $| \vec{B C} | = 29$ C、若向量 $\vec{m} = (2 ， - 2 ， 2)$ ，则 $\vec{m} // \vec{A B}$ D、若向量 $\vec{m} = (1 ， 2 ， 1)$ ，则 $\vec{m} ⊥ \vec{A B}$

查看试题解析
10. 在同一直角坐标系下，直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ 的位置可能为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. A ， B两组各有2名男生、2名女生，从A ， B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A ， B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A ， B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、甲与乙相互独立 D、乙与丁相互独立

查看试题解析
12. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数 $24$ ，棱长为 $2 \sqrt{2}$ 的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（）

A、该半正多面体的表面积为 $48 + 32 \sqrt{3}$ B、 $A G ⊥$ 平面 $B C D G$ C、点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、若 $E$ 为线段 $B C$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $z (2 - i) = 10 i$ ，则 $| z | =$ ．

查看试题解析
14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x}$ 的取值范围为．

查看试题解析
15. 已知 $f (x) ， g (x)$ 分别为定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (5) = g (5) = 0$ ．若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] [g (x_{1}) - g (x_{2})] < 0$ ，则不等式 $f (x) g (x) < 0$ 的解集为．

查看试题解析
16. 已知直线 $l_{1} ： m x + 3 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + (m + 5) y - 4 = 0$ 垂直，则 $m =$ ，这两条直线的交点坐标为．

查看试题解析

四、解答题

17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2 A B = 2 A A_{1} = 6$ ， $E ， F$ 分别是 $A_{1} D_{1} ， A_{1} B_{1}$ 的中点， $\vec{C G} = \vec{G E}$ ，以点 $A$ 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $A - x y z$ ．

(1)、写出 $C ， D_{1} ， F ， G$ 四点的坐标；

(2)、求 $\cos < \vec{C F} ， \vec{D_{1} G} >$ ．

查看试题解析
18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - (a + 3) x - (3 a - 1) y + 2 - a = 0$ 关于直线 $l ： 2 x + y - 5 = 0$ 对称．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $O$ 是坐标原点，直线 $l_{1} ： x - y + 1 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，求 $△ O M N$ 的面积．

查看试题解析
19. 如图，在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是棱 $B C$ 的中点， $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，分别记 $\vec{A B} ， \vec{A C} ， \vec{A D}$ 为 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ．

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 6$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{E F}$ ．

查看试题解析
20. 已知圆 $W$ 经过 $A (3 ， 3)$ ， $B (2 ， 2 \sqrt{2})$ ， $C (2 ， - 2 \sqrt{2})$ 三点．

(1)、求圆 $W$ 的方程；

(2)、若经过点 $P (- 1 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与圆 $W$ 相切，求直线 $l_{1}$ 的方程．

查看试题解析
21. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{2 b + 2 c - \sqrt{3} a}{4 c}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 3$ ， $a > b$ ，求 $\sqrt{3} a - b$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 如图，在四棱锥P—ABCD中， $P A ⊥$ 平面ABCD ，底面ABCD是边长为2的正方形， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， G为CD的中点，E ， F是棱PD上两点（F在E的上方），且 $E F = 2$ ．

(1)、若 $B F$ $/ /$ 平面AEG ，求DE；

(2)、当点F到平面 $A E C$ 的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值．

查看试题解析