安徽省宿州市十三所重点中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{2 a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 已知直线 $l_{1} ： (m + 1) x + 2 y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： 8 x + (m + 1) y - m + 1 = 0$ ，则“ $m = - 5$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知两点 $A (1 ， - 3)$ ， $B (3 ， a)$ ，以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则a等于（）

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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5. 已知 $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ，则点A到直线BC的距离为（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ C、4 D、 $\frac{36}{5}$

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6. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - 1)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量， $\vec{n} = (- 1 ， 2 ， 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、直线 $l$ 在平面 $α$ 内 D、相交但不垂直

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7. 如图，在棱长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，E ， F为CD上两个动点，且 $E F = \frac{a}{2}$ ，则点 $A_{1}$ 到平面PEF的距离（）

A、等于 $\frac{\sqrt{5}}{5} a$ B、 $\frac{a}{2}$ C、等于 $\frac{\sqrt{2}}{3} a$ D、与EF的位置有关

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8. 已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 1)$ ，直线 $y = k x$ 将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时实数k的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间一个基底，下列选项中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ； B、则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面； C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x ， y ， z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ； D、则 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ 一定能构成空间的一个基底

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10. 已知 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (4 ， 2)$ 两点到直线 $l ： a x + y - 1 = 0$ 的距离相等，则实数a的值可能等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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11. 已知圆M的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆M的半径为5 B、圆M关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称 C、点 $(- 6 ， 1)$ 在圆M内 D、实数x ， y满足圆M的方程，则 $\sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}}$ 的最小值是5

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12. 如图，已知P为棱长为1的正方体对角线 $B D_{1}$ 上的一点，且 $B P = λ B D_{1}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ 下面结论中正确的有（）

A、 $A_{1} D ⊥ C_{1} P$ B、 $A_{1} P$ 可能与面APB垂直 C、当 $A_{1} P + P D$ 取最小值时， $λ = \frac{2}{3}$ D、若 $λ \in (0 ， 1)$ ，则 $∠ A P C \in (\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{12})$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， - 2)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 相互垂直，则k的值为．

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14. 已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与直线 $2 x + m y - 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离是．

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 1 = 0$ 关于直线 $a x - b y - 4 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）对称，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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16. 如图，两个正方形ABCD ， CDEF的边长都是2，且二面角 $A - C D - E$ 为60°，M ， N为对角线AC和FD上的动点，且满足 $A M = F N$ ，则线段MN长的最小值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知顶点 $A (3 ， 0)$ ， $B (3 ， - 4)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ．

(1)、求AB边上中线的方程：

(2)、求过点B ，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程．

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18. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱的长为 $2 \sqrt{3}$ ，底面是正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{B_{1} D}$ 并求 $| \vec{B_{1} D} |$ 的值；

(2)、求异面直线AC与 $B_{1} D$ 所成角的余弦值．

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19. 求下列圆的方程

(1)、圆 $C_{1}$ 经过坐标原点， $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (- 3 ， - 3)$ ；

(2)、圆 $C_{2}$ 的圆心在x轴上，并且过 $C (- 1 ， 1)$ 和 $D (1 ， 3)$ 两点．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A D ⊥$ 面ABCD ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ， M是棱PA上一点且 $\frac{A M}{A P} = \frac{1}{4}$ ．

(1)、求证： $B M$ $∥$ 平面PCD；

(2)、求直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $P B ⊥ B C$ ， $P D ⊥ C D$ ，且 $P A = 2$ ．

(1)、求证： $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ；

(2)、在线段PD上是否存在点E ，使平面PAB与平面ACE所夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ？若存在，找出点E的位置：若不存在，请说明理由．

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22. 已知曲线C的方程为 $a x^{2} + a y^{2} - 2 a^{2} x - 4 y = 0 (a > 0)$

(1)、判断曲线C的形状；

(2)、设直线 $L ： y = - 2 x + 4$ 与曲线C交于不同的两点M ， N ，且 $| O M | = | O N |$ （O为坐标原点），求曲线C的方程．

(3)、已知点 $A (0 ， - m)$ ， $B (0 ， m) (m > 0)$ ，若点P为（2）中所求曲线上一动点，且满足 $A P ⊥ B P$ ，求 $m$ 的取值范围．

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