安徽省芜湖市普通高中2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 5 ， 4)$ ， $\vec{b} = (6 ， 0 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、3 B、－3 C、12 D、－12

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2. 过点 $A (2 ， 1)$ 且与直线 $l ： 2 x - 4 y + 3 = 0$ 垂直的直线的方程是（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 3 = 0$ D、 $x + 2 y - 4 = 0$

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3. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ 关于直线l： $x + y - 2 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$

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4. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A ， B两点，点P在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围为（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[2 ， 8]$ D、 $[4 ， 6]$

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5. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的 $\frac{1}{3}$ ，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{11 \sqrt{2}}{4}$

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6. 已知点A，B分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点 $F_{1}$ ，且 $A B ∥ O P$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ B A C = ∠ B A D = ∠ C A D = 90 °$ ，且 $A B = A C = A D = 1$ ， M ， N分别为BC ， AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）．

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ､ F$ 分别是棱 $A A_{1}$ ､ $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面四边形 $A B C D$ 内（包括边界）的一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面 $B E F$ 无公共点，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 6$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 6$ C、 $(\vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} / / (\vec{b} - \vec{c})$

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为A ， B ，则有（）

A、公共弦AB所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、公共弦AB所在直线的方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦AB的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、P为圆 $O_{1}$ 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上的动点，则（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ B、C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}$ D、C上有且只有4个点P ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $| A B | = | A D | = 1$ ， $| A A_{1} | = 2$ ，动点 $P$ 在体对角线 $B D_{1}$ 上（含端点），则下列结论正确的有（）

A、当 $P$ 为 $B D_{1}$ 中点时， $∠ A P C$ 为锐角 B、存在点 $P$ ，使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A P C$ C、 $| A P | + | P C |$ 的最小值 $2 \sqrt{5}$ D、顶点 $B$ 到平面 $A P C$ 的最大距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. $P (x ， y)$ 在线段 $A B$ 上运动，已知 $A (2 ， 4) ， B (5 ， - 2)$ ，则 $\frac{y + 1}{x + 1}$ 的取值范围是.

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14. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，底面边长和侧棱长均为2， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则对角线 $A C_{1}$ 的长为．

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15. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 相交于A ， B两点，则 $\sin ∠ A O B =$ .

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16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为线段 $A_{1} D$ 的中点，N为线段 $C D_{1}$ 上的动点，则直线 $C_{1} D$ 与MN所成角的正弦值的最小值为．

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四、解答题

17. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 0 ， 1) ， \vec{c} = (x ， 6 ， - 2)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ，求 $| \vec{c} |$

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数k的值．

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18. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ 及直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y = 7 m + 4 (m \in R)$ ．

(1)、证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)、求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

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19. 已知点 $A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．

(1)、若点P的轨迹为曲线 $C$ ，求此曲线的方程；

(2)、若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $C$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P B ， ∠ B A D = 9 0^{∘} ， ∠ P A D = 9 0^{∘} ， A B ∥ C D ， A D = A B = 2 C D = 2$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - A$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为 $A (- \sqrt{2} ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $y = k x (k \neq 0)$ 交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M， $F_{1}$ ， N， $F_{2}$ 四点共圆．

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22. 如图1，平面图形 $P A B C D$ 由直角梯形 $A B C D$ 和 $Rt △ P A D$ 拼接而成，其中 $A B = B C = 1$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P C$ 与 $A D$ 相交于点 $O$ ，现沿着 $A D$ 将其折成四棱锥 $P - A B C D$ （如图2）．

(1)、当侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ 时，求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(2)、在（1）的条件下，线段 $P D$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得二面角 $Q - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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