山东省青岛市胶州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x \in R | x^{2} < 4}$ ， $N = {x \in R | 2^{2^{x}} < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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2. 已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ， $\cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $32 π$

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4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $L$ 和小数记录法的数据 $V$ 满足 $L = a + b \ln V$ （其中a ， b为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1，则（）

A、 $a = 5$ ， $b = \lg e$ B、 $a = 5$ ， $b = 1$ C、 $a = 5$ ， $b = \ln 10$ D、 $a = 1$ ， $b = 5$

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5. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位，得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \sin (4 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ D、 $f (x) = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x - 2)$ 是奇函数， $f (2 x - 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (0) = 0$ D、 $f (\frac{1}{2}) = 0$

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7. 设 $a = - 0.01$ ， $b = \ln 0.99$ ， $c = \cos (- 0.99)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{4}{\sin^{2} θ} + \frac{2}{\cos^{2} θ} - 2 \sqrt{2} \tan θ$ 的最小值为（）

A、8 B、 $12 - 2 \sqrt{2}$ C、6 D、5

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二、多选题

9. 已知 $a + b = 2$ ，则下述正确的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 6$ C、若 $2 a^{2} + a b - 3 < 0$ ，则 $- 3 < a < 1$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则（）

A、 $A C$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、 $A D ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、 $A_{1} C_{1} ⊥ A D_{1}$ D、平面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 3 \sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称

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12. 已知等腰三角形ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，点E ， F分别在线段AC ， AB上，点D满足 $\vec{A D} = \sin^{2} θ \cdot \vec{A B} + \cos^{2} θ \cdot \vec{A C}$ ，其中 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，若 $D E ⊥ A C$ ， $D F ∥ A C$ ，则（）

A、D在线段BC上 B、 $\vec{D F} \cdot \vec{B E} > 0$ C、 $| \vec{D F} + 2 \vec{C E} | = 2 \sqrt{3}$ D、 $\vec{D E} \cdot \vec{B F}$ 有最大值

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三、填空题

13. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{x} - 2 ， x > 4 \\ | x - 3 | + a ， x \leq 4 \end{matrix}$ ，若 $f (f (9)) = 1$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 已知圆台的上、下底面半径分别为 $2$ ， $4$ ，高为 $\sqrt{3}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在圆台上、下底面圆周上，则 $M N$ 的最大值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的两圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相切于点 $A (0 ， 1)$ ， $C_{1}$ 的圆心为原点O ， $C_{2}$ 的圆心为 $C_{2}$ ．若圆 $C_{2}$ 沿圆 $C_{1}$ 顺时针滚动，当滚过的弧长为1时，点 $C_{2}$ 所在位置的坐标为，圆 $C_{2}$ 上的点A所在位置的坐标为．

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $2 \sin A = \sin C + \sin (B - A)$ ．

(1)、证明： $\cos A = \frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $b^{2} = a c$ ，求 $\cos B$ ．

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18. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为4，点A到平面 $B C_{1} D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求 $△ B C_{1} D$ 的面积；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，动点E在线段 $D D_{1}$ 上移动，求 $△ A E C_{1}$ 面积的取值范围．

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19. 如图，P为 $△ A B C$ 内的一点， $∠ A B P = 30 °$ ， $A B = \sqrt{3} A P$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $∠ A P B$ ；

(2)、若 $A P ⊥ C P$ ， $B C = \sqrt{7}$ ，求AC ．

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20. 如图，在几何体 $A B C - A_{1} B_{1} O$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形，直线 $O C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} O$ ，平面 $A A_{1} O C ⊥$ 平面 $B B_{1} O C$ ， $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ O C$ ， $A A_{1} = B B_{1} = 2 O C$ ．

(1)、证明： $O A_{1} ⊥ O B_{1}$ ；

(2)、在“① $O M$ $∥$ 平面 $A B C$ ， ② $CM ⊥$ 平面 $B B_{1} O C$ ”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
点M为线段 $A A_{1}$ 上的一点，满足______，直线 $O M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} O$ 所成角的大小为45°，求平面ABC与平面 $A_{1} B_{1} O$ 的夹角的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x^{2} - x (a > 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = x - \ln (1 + x)$ ， $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．证明： $g (\sin α) + g (\cos α \cos β) + g (\cos α \sin β) < \frac{1}{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x - x^{2} - 2$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $a > 3$ ， $\frac{b e^{a e^{x - 1} - x^{2} - 3}}{x} - \ln (a e^{x - 1} - \ln e^{2} x - x^{2}) + \ln b - 1 \geq 0$ 对任意正实数x恒成立，求正实数b的取值范围．

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