三湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 3}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则下列关系式准确的是（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ C、 $A \cap ∁_{R} B = {x | 2 < x < 3}$ D、 $A \cup ∁_{R} B = {x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$

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2. 函数 $y = \sqrt{lg x} + lg (5 - 3 x)$ 的定义域是（）

A、[0， $\frac{5}{3}$ ) B、[0， $\frac{5}{3}$ ] C、[1， $\frac{5}{3}$ ) D、[1， $\frac{5}{3}$ ]

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 1 ， x > 0 \\ a x^{3} + b ， x < 0 \end{array}$ 为偶函数，则 $2^{a} + b =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 已知正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 2$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $4$

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5. 若数列{Fn}满足F₁=1，F₂=1，Fn=Fn_-1+Fn_-2(n≥3)，则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近 $0.618$ 等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）
（备注： $0 {.618}^{2} \approx 0 .38$ ， $1 {.618}^{2} \approx 2 .61$ ）

A、31万 B、51万 C、217万 D、317万

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6. 已知 $a = \frac{4}{3} \cos \frac{3}{4}$ ， $b = \frac{4}{3} \sin \frac{3}{4}$ ， $c = \tan \frac{4}{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b<c<a$ D、 $b < a < c$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} c}{a \cos B} = \tan A + \tan B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、当 $a = 2$ ， $c = 4$ 时， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ C、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2$ D、当 $b - c = \frac{\sqrt{3} a}{3}$ 时， $△ A B C$ 为直角三角形

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8. 已知函数 $f (x) = [k (x - 1) + \frac{1}{4}] e^{x} - \frac{3}{2} x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{e^{3}} - \frac{1}{12} ， \frac{3}{e^{2}} - \frac{1}{8})$ B、 $[\frac{3}{e^{2}} - \frac{1}{8} ， \frac{3}{e} - \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{3}{e^{3}} - \frac{1}{12} ， \frac{3}{e^{2}} - \frac{1}{8}]$ D、 $(\frac{3}{e^{2}} - \frac{1}{8} ， \frac{3}{e} - \frac{1}{4}]$

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二、多选题

9. 已知复数：满足 $(i - 1) z = 2 i$ ，则（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、z的虚部为 $- i$ C、z的共轭复数为 $\bar{z} = - 1 + i$ D、z是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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10. 下列选项中，正确的有（）

A、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是非零向量，则“ $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$ ”是“ $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ”成立的充分不必要条件 B、若角 $α$ 的终边过点 $P (3 ， - m)$ 且 $sin α = - \frac{2}{\sqrt{13}}$ ，则 $m = \pm 2$ C、在 $△ A B C$ 中， $A < B \Leftrightarrow sin A < \sin B \Leftrightarrow \cos A > cos B$ D、若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + α) = - \frac{1}{3}$

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11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + n + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + n ， n 为偶数 \end{array}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 6$ B、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n + 1)$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2} ， n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2} ， n 为偶数 \end{array}$ D、数列 ${(- 1)^{n} a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $n (n + 1)$

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12. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = x y$ ，则（）

A、 $x + y \geq 4$ B、 $x y \geq 2$ C、 $x + 2 y + x y \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ D、 $\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 y}{y - 1} \geq 6 + 4 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{11} = 11$ ， $b_{5} b_{7} = 3$ ，则 $\log_{3} \frac{a_{6}}{b_{6}^{2}}$ = ．

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14. 已知向量 $\vec{m} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{n} = (2 ， λ)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $2 \vec{m} + \vec{n}$ 在 $\vec{m}$ 上的投影向量为．

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作 $《$ 孙子算经 $》$ 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 $?$ 现有这样一个相关的问题：被 $3$ 除余 $2$ 且被 $5$ 除余 $3$ 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{n} + 30}{n}$ 的最小值为．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且函数 $y = f (2 x + 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，当 $x < \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = ln (1 - 2 x)$ ，则 $f (6) =$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 6$ 处的切线方程是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $y = f (x)$ 的单调区间 $；$

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $4$ ，且满足 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 2^{n + 1}$ ，若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} - 1$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 中， $c_{1} = 4$ ，对任意 $m$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{c_{n} - c_{m}}{n - m} = 3$ ，求数列 ${b_{n} \cdot c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 如图，在平面凹四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A D C = 120^{\circ}$ ，角 $B$ 满足： $(1 + \sin B + \cos B) (\cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}) = \cos \frac{B}{2}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小 $；$

(2)、求凹四边形 $A B C D$ 面积的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 2$ ， $g (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，且 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增.

(1)、若 $g (x) \geq g (- \frac{2 π}{3})$ 恒成立，求 $ω$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若当 $x_{1} \in [0 ， 2]$ 时，总有 $x_{2} \in [0 ， \frac{4 π}{3}]$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的周期为 $π$ ，图像的一个对称中心为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，将函数 $f (x)$ 图像上所有点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像．

(1)、求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式；

(2)、是否存在 $x_{0} \in (\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ ，使得 $f (x_{0})$ 、 $g (x_{0})$ 、 $f (x_{0}) g (x_{0})$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由．

(3)、当 $a > 0$ 时，判断 $F (x) = f (x) + a g (x)$ 在 $(0 ， 2022 π)$ 内的零点个数，并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a t_{1} e^{t_{2}} = a t_{2} e^{t_{1}} = t_{1} t_{2} (0 < t_{1} < t_{2})$ 时， $t_{1} (λ - t_{2}) + λ t_{2} > 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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