天津市河北区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {2 ， 3 ， 5} ， B = {2 ， 5}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $∁_{U} B = {1 ， 3 ， 4}$ C、 $A \cup B = {2 ， 5}$ D、 $A \cap B = {3}$

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2. 若集合 $A = {x | x^{2} = 1}, B = {x | m x = 1}$ 且 $B \subseteq A$ ，则实数m的集合为（）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1}$

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3. “ $x$ 为整数”是“ $2 x + 1$ 为整数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 命题 $p ： \exists x \in N$ ， $x^{2} > x^{3}$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in N$ ， $x^{2} > x^{3}$ B、 $\exists x \in N$ ， $x^{2} \leq x^{3}$ C、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} \leq x^{3}$ D、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} < x^{3}$

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5. 下列函数中与函数 $y = x^{2}$ 是同一函数的是（）

A、 $u = v^{2}$ B、 $y = x \cdot | x |$ C、 $y = \frac{x^{3}}{x}$ D、 $y = {(\sqrt{x})}^{4}$

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6. 下列不等式中成立的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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7. 函数 $y = \frac{| x |}{x} + x$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知幂函数y＝f(x)经过点(3， $\sqrt{3}$ )，则f(x)（）

A、是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B、是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C、是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D、是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

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9. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 是减函数，且 $f (- 2) = 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[0 ， 2]$

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x}{y} > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 4$ 或 $m \leq - 2$ B、 $m \geq 2$ 或 $m \leq - 4$ C、 $- 4 < m < 2$ D、 $- 2 < m < 4$

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二、填空题

11. 函数f（x）= $\sqrt{x + 1}$ + $\frac{1}{2 - x}$ 的定义域为．

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12. 集合 ${x \in N | x - 3 < 2}$ ，用列举法表示是.

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13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 1 (x \geq 0) \\ \frac{1}{x} (x < 0) \end{array}$ ，若 $f (a) = a$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14. 计算： $2 \sqrt{3} \times \sqrt[6]{12} \times \sqrt[3]{\frac{3}{2}} =$ ．

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15. 已知函数 $y = a^{x - 2}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A ，若点A在一次函数 $y = m x + n$ 的图象上，其中 $m ， n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | a \leq x \leq a + 2}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = a^{x - 1}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(3 ， 4)$ ，求实数a的值；

(2)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，当 $x \in [2 ， + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围；

(3)、求关于x的不等式 $f (x) > a^{3}$ 的解集.

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18. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ ，点 $A (1 ， 5)$ ， $B (2 ， 4)$ 是 $f (x)$ 图象上的两点.

(1)、求a ， b的值；

(2)、根据定义证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 b x + 3$ ， $b \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(4 ， 3)$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) > 0$ 对一切实数x都成立，求b的取值范围；

(3)、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为1，求当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值.

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