辽宁省名校联盟2022-2023学年高一数学11月选科适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、多选题

1. 已知集合 $M = {x \in N^{*} | x < \sqrt{6}}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \in M$ B、 $0 \in M$ C、 ${0 ， 1} \subseteq M$ D、 ${2} \subseteq M$

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2. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ B、 $a - c < b - c$ C、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3. 对于集合M，N，定义 $M - N = {x | x \in M$ 且 $x \notin N}$ ，设全集 $U = {x \in Z | - 3 < x < 4}$ ， $M = {- 2 ， 2 ， 3} ， N = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则（）

A、 $M \cup N = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3}$ B、M的非空真子集个数为7 C、 $M - N = {- 2}$ D、 $∁_{U} (N - M) = {- 2 ， - 1 ， 2 ， 3}$

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4. 已知函数 $f (x) = | \frac{| x | + 1}{| x | - 1} |$ ，则正确的结论为（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0 且 x \neq \pm 1}$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的最小值为1

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5. 已知关于x的方程 $x^{2} - (a + b) x + 1 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 有两个相等的正实数根，则（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 2$

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二、单选题

6. 命题“ $\exists x > 0 ， x + 2 \sqrt{x} - 2 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \leq 0 ， x + 2 \sqrt{x} - 2 \geq 0$ B、 $\exists x \leq 0 ， x + 2 \sqrt{x} - 2 > 0$ C、 $\forall x > 0 ， x + 2 \sqrt{x} - 2 \geq 0$ D、 $\forall x > 0 ， x + 2 \sqrt{x} - 2 > 0$

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7. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q ， \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q ， \end{array}$ 黎曼函数定义在 $[0 ， 1]$ 上，其解析式为 $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 为正整数， \frac{q}{p} 是不可以再约分的真分数) ， \\ 0 ， x = 0 ， 1 和无理数， \end{array}$ 则 $D (R (\frac{1}{\sqrt{2}})) =$ （）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 函数 $f (x) = (x^{2} - 5 x - 6) \sqrt{x^{2} - 6}$ 的零点个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 已知函数 $f (x) = (x - 2) (x^{2} - a x)$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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10. 已知 $a ， b \in R$ ，设 $m = 4 a - b^{2} ， n = a^{2} - 2 b + 5$ ，则（）

A、 $m \geq n$ B、 $m > n$ C、 $m \leq n$ D、 $m < n$

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11. 在今年十一国庆假期，某超市开展花式优惠促销活动，该超市规定消费金额不超过100元不享受优惠，超过100元的部分享受优惠，如下表：

享受优惠的消费金额	不超过100元的部分	超过100元至200元的部分	超过200元至500元的部分	…
优惠率（%）	5	10	20	…

若某顾客从该超市购物优惠额为56.5元，则该顾客购物的总金额为（）

A、482.5元 B、507.5元 C、532.5元 D、582.5元

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12. 设 $x \in R$ ，计算机程序中用 $INT (x)$ 表示不超过x的最大整数，例如： $INT (- 2 ， 1) = - 3$ ， $INT (1 ， 2) = 1$ ．若函数 $f (x)$ 与 $g (x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 2} + 1$ 是同一函数，则函数 $y = INT (f (x))$ 的值域为（）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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三、填空题

13. 已知集合 $M = {(x ， y) | 2 x + y = 3}$ ， $N = {(x ， y) | x - 2 y = - 1}$ ，则 $M \cap N =$ ．

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14. 已知函数 $f (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{x} - 1$ ，则 $f (x) =$ ．

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15. 已知 $2 a - b = 3$ ，写出使得“ $m > - a^{2} + b + 1$ 对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为．（用含m的式子表示）

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} + a x + 6} (x \geq - 2) ， \\ \frac{4 - a}{x} (x < - 2) ， \end{array}$ 对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ， $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{3}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {- 3 ， - 1 ， 0 ， 2 ， 4} ， M = {x | x^{2} + a x = 0} ， N = {x | x^{2} + b x + a = 0}$ ，且 $M \cap N = {2}$ ．

(1)、求集合M，N；

(2)、若集合 ${m^{2} ， m - 1} = ∁_{U} (M \cup N)$ ，求实数m的值．

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18. 已知 $- 2$ 是函数 $f (x) = a x^{2} - \frac{b}{x}$ 的一个零点，且 $f (- 1) = 7$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、利用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数．

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19. 已知命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 2 m x - 2 m + 3 > 0$ ”为真命题，记实数m的取值为集合A．

(1)、求集合A；

(2)、设集合 $B = {x | a - 2 < x < a + 1}$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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20. 记A为函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域， $B = {x | x^{2} - 4 x - 5 < 0}$ ， $C = {x | x^{2} - (a + 5) x + 2 (a + 3) < 0}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、从下面①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
① $(∁_{R} A) \cap B \cap C = C$ ；② $(A \cup B) \cup C = A \cup B$ ；③ $(A \cap B) \cap C = \emptyset$ ．

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21. 在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投人生产成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 3 x^{2} + 6 x ， 0 < x < 6 ， \\ 32 x + \frac{128}{x + 1} - 100 ， x \geq 6 ， \end{array}$ 每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．

(1)、求利润 $f (x)$ （万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；

(2)、问生产多少册纪念册时，利润 $f (x)$ 最大？并求出最大值．

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- π ， π)$ ，对定义域内任意实数x，y恒有 $f (x - y) + f (x + y) = 2 f (x) \cdot f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(3)、若 $f (1) = \frac{3}{5} ， f (x)$ 在 $[0 ， π)$ 上单调递减．
（i）证明： $f (x)$ 在 $(- π ， 0)$ 存在唯一的零点；

（ii）求不等式 $125 f (2 x - 1) > - 117$ 的解集．

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