上海市杨浦区2022-2023学年九年级上学期期中绿色指标监测数学试题

试卷更新日期：2022-12-05 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1. 已知 $\frac{a - b}{a + b} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a}{b}$ 的值是（）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、5 D、-5．

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2. 下列两个三角形不一定相似的是（）．

A、有一个内角是 $50 °$ 的两个直角三角形 B、有一个内角是 $50 °$ 的两个等腰三角形 C、两条直角边的比都是 $2 ： 3$ 的两个直角三角形 D、腰与底的比都是 $2 ： 3$ 的两个等腰三角形

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3. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A B = 3$ ，下列各式中，正确的是（）．

A、 $\sin A = \frac{1}{3}$ B、 $\cos A = \frac{1}{3}$ C、 $\tan A = \frac{1}{3}$ D、 $\cot A = \frac{1}{3}$

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4. 已知 $\vec{a} = \vec{b}$ ，下列说法中，错误的是（）．

A、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = 0$ C、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同

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5. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $A D ： B D = 1 ： 2$ ，下列条件中，能判断 $D E ∥ B C$ 的是（）．

A、 $D E ： B C = 1 ： 2$ B、 $D E ： B C = 1 ： 3$ C、 $A E ： A C = 1 ： 2$ D、 $A E ： A C = 1 ： 3$

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6. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在 $5 \times 5$ 的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果 $∠ A D C = ∠ A B C$ ，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（）．

A、3 B、5 C、7 D、9

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二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7. 已知 $α$ 为锐角， $\cot α = 2 \sin 60 °$ ，那么 $α =$ 度．

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8. 已知线段a是线段b、c的比例中项，如果 $a = 2$ ， $b = 3$ ，那么 $c =$ ．

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9. 如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为．

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10. 已知点P是线段 $A B$ 上的一点，如果 $A P^{2} = B P \cdot A B$ ，且 $A P = 2$ ，那么 $B P =$ ．

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11. 计算： $3 \vec{a} - \frac{1}{2} (2 \vec{a} - 4 \vec{b}) =$ ．

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12. 已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，如果 $A C = 2$ ， $A B = 3$ ，那么 $\cos ∠ B C D =$ ．

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13. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C$ 与中位线 $E F$ 交于点G，如果 $A D = 3$ ， $E F = 5$ ，那么 $E G =$ ．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ， $B E$ 是边 $A C$ 的中线， $B E = 15 cm$ ， $A G = 12 cm$ ，那么 $S_{△ A B C} =$ ．

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15. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B = 4$ ， $B C = 9$ ，如果 $△ A B D$ 与 $△ D B C$ 相似，那么 $B D =$ ．

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16. 如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 $C D$ 的长为1米，继续往前走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度 $A B$ 的长为米．

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17. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点A作 $A F ⊥ C D$ ， $A F$ 分别与 $C D$ 、 $C B$ 相交于点E、F，如果 $\tan B = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{A E}{E F}$ 的值是．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点E在边 $C D$ 上，点A、D关于直线 $B E$ 的对称点分别是点M、N．如果直线 $M N$ 恰好经过点C，那么 $D E$ 的长是．

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三、解答题（本大题共7题，满分46分）

19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $D E ∥ B C$ ，点D是边 $A B$ 上的一点， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、请直接写出向量 $\vec{A E}$ 关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分解式， $\vec{A E} =$ ；

(2)、在图中作出向量 $\vec{C E}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）

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20. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点E是边 $A D$ 的中点，联结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，交 $A C$ 于点G．求证： $E F \cdot G B = B F \cdot G E$ ．

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21. 如图，点D、E分别在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ．如果 $S_{△ A D E} = 2$ ， $S_{△ B C E} = 7.5$ ．求 $S_{△ B D E}$ ．

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22. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $∠ B = 30 °$ ， $\tan C = \frac{24}{7}$ ，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点D、E．求线段 $C E$ 的长．

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于D．

(1)、求证： $\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C}$ ；

(2)、延长 $B D$ 至点E，联结 $C E$ 、 $A E$ ，如果 $∠ A C E = ∠ E B C$ ，求证： $A E = C E$ ．

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24. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在边 $A C$ 上，联结 $B D$ ，以 $B D$ 为斜边作等腰直角三角形 $B D E$ （点E在直线 $B D$ 右侧），联结 $C E$ ．

(1)、如果 $∠ A = 45 °$ ，求证： $△ A B D$ ∽ $△ C B E$ ；

(2)、如果 $B C = 12$ ， $C D = 5$ ，求线段 $C E$ 的长．

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25. 如图，已知在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ，点E、F分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上， $A F$ 的延长线交 $B C$ 的延长线于点G，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ．

(1)、求证： $A E^{2} = E C \cdot E G$ ；

(2)、如果点F是边 $C D$ 的中点，求 $S_{△ A B E}$ 的值；

(3)、延长 $A E$ 、 $D C$ 交于点H，联结 $G H$ 、 $A C$ ，如果 $△ A G H$ 与 $△ A B C$ 相似，求线段 $B E$ 的长．

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