上海市普陀区2023届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、填空题

1. 设全集 $U = R$ ，若集合 $A = {x ‖ 2 x - 1 ∣ > 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ ．

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = 2 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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3. 在 $(1 - 2 x)^{6}$ 的二项展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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4. 已知 $5 . 4^{x} = 3 ， y = l o g_{0.6} 3$ ，则 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =$ ．

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5. 若 $s i n (α - \frac{π}{4}) = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ ；

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6. 若 $x > 1$ ，则 $3 x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是．

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7. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米（精确到整数）

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8. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“上海进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，至少有1名女医生的概率是（用数字作答）

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 满足条件：（1）焦点为 $F_{1} (- 5 ， 0) 、 F_{2} (5 ， 0)$ ；（2）离心率为 $\frac{5}{3}$ ，求得双曲线的方程为 $f (x ， y) = 0$ ．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲线的方程仍然为 $f (x ， y) = 0$ ．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（填序号）
①双曲线上的任意一点P都满足： $‖ P F_{1} | - | P F_{2} ‖ = 6$ ；
②双曲线的虚轴长为4；
③双曲线的一个顶点与抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点重合；
④双曲线的渐近线的方程为： $4 x \pm 3 y = 0$ ．

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为正方形， $P D = A D = 6$ ， M、N分别为线段AC上的点，若 $∠ M B N = 60 °$ ，则三棱锥 $P - B M N$ 体积的最小值为．

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11. 若圆O的半径为2，圆O的一条弦 $A B$ 长为2，P是圆O上任意一点，点P满足 $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{P Q}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值为.

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12. 已知数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{2 S_{n}}{n} - 1 = 2 a_{n} - n$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $\sum_{i = 1}^{2022} {(- 1)}^{i} (2 a_{i + 1} - a_{i})$ ．

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二、单选题

13. 对于常数m、n，“mn>0”是“方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的曲线是椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m - 1} = - 2 ， S_{m} = 0 ， S_{m + 1} = 3$ ，则 $m =$ (　　)

A、3 B、4 C、5 D、6

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15. 设函数 $f (x) = sin (4 x + \frac{π}{4})$ $(x \in [0 ， \frac{9 π}{16}])$ ，若函数 $y = f (x) + a (a \in R)$ 恰有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $π$

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16. 记 $m a x {x ， y} = {\begin{array}{l} x ， x \geq y \\ y ， x < y \end{array}$ ，已知 $f (x) 、 g (x)$ 均是定义在实数集 $R$ 上的函数，设 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，有下列两个命题：
①若函数 $f (x) 、 g (x)$ 都是偶函数，则 $h (x)$ 也是偶函数；
②若函数 $f (x) 、 g (x)$ 都是奇函数，则 $h (x)$ 也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是（）

A、①②都正确 B、①正确②错误 C、①错误②正确 D、①②都错误

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三、解答题

17. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1 ， A A_{1} = 2$ ，点P为棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B D_{1} ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $P A C$ 所成的角．（用反三角函数表示）

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x - 1 (x \in R)$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的最小正周期以及单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = 0, \overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = \frac{3}{2}$ ，且 $a + c = 4$ ，求 $b$ 的值.

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19. 疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润 $\frac{5 x}{4}$ （万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{25 x}{30 - x} ， 0 \leq x \leq 20 \\ 50 ， x > 20 \end{array}$ （万元）．

(1)、当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；

(2)、若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润．

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20. 已知函数 $f (x) = a l n x - a x + 1 ， a \in R$ ．

(1)、若经过点 $(0 ， 0)$ 的直线与函数 $f (x)$ 的图像相切于点 $(2 ， f (2))$ ，求实数a的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - 1$ ，若函数 $g (x)$ 在区间当 $[\frac{3}{2} ， 4]$ 为严格递减函数时，求实数a的取值范围；

(3)、对于（2）中的函数 $g (x)$ ，若函数 $g (x)$ 有两个极值点为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $g (x_{1}) + g (x_{2}) < λ (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列 ${a_{n}}$ 所构成的集合为A．若对于任意的 $p 、 q \in [1 ， 2022] (p ， q \in N)$ ，当 $p + q \in A$ 时，都有 $a_{p} + a_{q} \in A$ ，则称集合A为“子列封闭集合”．

(1)、若 $a_{n} = n (1 \leq n \leq 2022 ， n \in N)$ ，判断集合A是否为“子列封闭集合”，说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的最大项为 $a_{2022}$ ，且 $A ∩ [2023 ， 4044] \neq \emptyset$ ，证明：集合A不是“子列封闭集合”；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 为严格递增数列， $a_{2022} = 4046$ ，且集合A为“子列封闭集合”，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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