山东省聊城市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 0}$ ， $B = {x | 1 < 3^{x} \leq 27}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）．

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 已知复数z满足 $z (1 - i) = {(1 - 3 i)}^{2}$ ，则 $| z | =$ （）．

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、8

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3. 下列结论正确的是（）．

A、若命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ，则 $\overset{- \to}{E F}$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ． B、若 $a ， b \in R$ ，则“ $2^{a} > 2^{b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的必要不充分条件． C、点 $P (m ， n)$ 在 $α$ 的终边上，则 $c o s α > s i n α$ 的一个充要条件是 $m > n > 0$ ． D、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ．

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， x < 0 \\ e^{- x} + m ， x \geq 0 \end{array} (m \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 在R上有两个零点，则m的取值范围是（）．

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $[- 1 ， 0)$

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5. 已知 $s i n θ + c o s (θ - \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $s i n (θ + \frac{7 π}{6}) =$ （）．

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有 $a_{n}$ 个球，从上往下n层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）．

A、 $S_{4} = 19$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ C、 $a_{2022} = 1011 \times 2023$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2022}} = \frac{2022}{2023}$

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7. 若函数 $f (x)$ 使得数列 $a_{n} = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ 为递增数列，则称函数 $f (x)$ 为“数列保增函数”．已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（）．

A、 $a \in (- \infty ， 0]$ B、 $a \in (- \infty ， e^{2} - e)$ C、 $a \in (- \infty ， e)$ D、 $e \in (- \infty ， \sqrt{e}]$

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8. 已知 $a = 1 . 1^{1.1}$ ， $b = e^{0.11}$ ， $c = 1 + 1.1 l n 1.1$ ，下列说法正确的是（）．

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， n)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 2)$ ，则（）．

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $n = 1$ C、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $n < 1$ D、 $| 2 \vec{a} - \vec{c} |$ 的最小值为4

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10. 下列结论正确的是（）．

A、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $l g a + l g b = l g (a + b)$ ，则 $a + b$ 的最小值为4 C、函数 $y = s i n x + \frac{4}{s i n x} (0 < x < π)$ 的最小值为4 D、已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ， $a_{1} = 13$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 取最小值时， $n = 3$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列选项中正确的有（）．

A、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = s i n (x + \frac{π}{3})$ C、 $x = \frac{4 π}{3}$ 是曲线 $y = g (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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12. 在平面四边形ABCD中， $△ A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 面积的2倍，又数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，恒有 $\vec{B D} = (a_{n} - 2^{n - 1}) \vec{B A} + (a_{n + 1} + 2^{n}) \vec{B C}$ ，设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列 C、 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、 $S_{n} = (3 - n) 2^{n + 1} - 6$

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三、填空题

13. 已知 $a > b > 1$ ，若 $l o g_{a} b + l o g_{b} a = \frac{10}{3}$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，则 $a + b$ = ．

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14. 在四边形ABCD中， $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A B} | = 2 | \vec{A D} | = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的值为．

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15. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = a_{n + 1}$ ， $n ∈ N^{∗}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} l n a - a^{x}$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上单调递减，则a的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 - a x)$ ．

(1)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时，函数 $f (x)$ 恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在这样的实数a，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1}^{2} - 6 a_{n}^{2} + a_{n} a_{n + 1} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n}^{2} ， n 为奇数 \\ a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n + 1$ 项的和 $S_{2 n + 1}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = (a + 2 c o s^{2} x) c o s (2 x + θ)$ 为奇函数，且 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ，其中 $a \in R$ ， $θ \in (0 ， π)$ ．函数 $g (x) = 4 f (x + \frac{π}{12}) \cdot f (x)$ ．

(1)、求a， $θ$ 的值；

(2)、求函数 $g (x)$ 的单调递减区间．

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20. 已知 $△ A B C$ 中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且 $b = 2 a$ ， $c = 3$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $2 s i n B - s i n A = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 已知函数 $f (x) = x - (a + 2) l n x - \frac{a + 1}{x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = e^{x} + m x^{2} - e^{2} - 3$ ，当 $a = e^{2} - 1$ 时，对任意 $x_{1} \in [1 ， + \infty)$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，使 $g (x_{2}) \leq f (x_{1})$ ，求实数m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有两个不同零点，求a的取值范围．

(2)、若 $F (x) = \frac{1}{g (s i n (x - 1))} - f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求a的取值范围．

(3)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} s i n \frac{1}{k + 1} < l n (n + 1)$ ， $n ， k \in N^{*}$ ．

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