山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知非空集合 $A ， B$ ， $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 ⩾ 0}$ ， $B = {x | 2 - a < x < 2 + a}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}$ ”是“ $2^{a} < 2^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $c o s θ + s i n (θ + \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $s i n (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， ⋯$ ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，后来人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”.记 $a_{2023} = m$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2022} =$ （）

A、 $m - 2$ B、 $m - 1$ C、 $m$ D、 $m + 1$

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5. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{D C} = 3 \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{A C} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A C} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A C} = 3 \vec{A B} - 2 \vec{A D}$ D、 $\vec{A C} = 4 \vec{A B} - 3 \vec{A D}$

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6. 某函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的部分图象如图，则函数解析式可能为（）

A、 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) l n x$ B、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) l n x$ C、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ D、 $f (x) = \frac{x - l n x - 1}{x}$

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7. 已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式 $A$ ：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式 $B$ ：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起， $t$ 小时后的电量为当前电量的 $\frac{1}{2^{t}}$ 倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启 $A$ 模式，并在 $x$ 小时后，切换为 $B$ 模式，若使且在待机10小时后有超过 $2.5 %$ 的电量，则 $x$ 的可能取值为（）

A、 $4.6$ B、 $5.8$ C、 $7.6$ D、 $9.9$

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8. 已知定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x ， - 2 \leq x \leq - 1 \\ | l n (x + 1) | ， - 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，若 $g (x) = f (x) - a (x + 1)$ 的图像与 $x$ 轴有4个不同的交点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{l n 3}{3} ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{l n 3}{3} ， \frac{1}{e})$ C、 $[\frac{l n 3}{3} ， \frac{1}{3 e})$ D、 $(\frac{l n 3}{3} ， \frac{1}{3 e})$

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二、多选题

9. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{3} < b^{3}$ B、 $a^{2} b > a b^{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ D、 $a + b < a b$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为 $\sqrt{2}$ ；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为 $π$ ；
③该函数图象关于 $(\frac{5 π}{3} ， 0)$ 对称.
那么下列说法正确的是（）

A、 $φ$ 的值可唯一确定 B、函数 $f (x - \frac{5 π}{6})$ 是奇函数 C、当 $x = 2 k π - \frac{5 π}{6} (k \in Z)$ 时，函数 $f (x)$ 取得最小值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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11. 已知 $f (x) = x l n x - \sqrt{2 x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上为减函数 C、若直线 $y = m$ 和 $y = f (x)$ 的图象有交点，则 $m \in (- \infty ， - 1]$ D、 $l n \frac{3}{2} > \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1)$

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12. 将 $n^{2}$ 个数排成 $n$ 行 $n$ 列的数阵，如图所示：该数阵第一列的 $n$ 个数从上到下构成以 $m$ 为公差的等差数列，每一行的 $n$ 个数从左到右构成以 $m$ 为公比的等比数列（其中 $m >$ 0）.已知 $a_{11} = 3 ， a_{13} = a_{51} + 1$ ，记这 $n^{2}$ 个数的和为 $S$ ，下面叙述正确的是（）
$\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ⋯ & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ⋯ & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ⋯ & a_{3 n} \\ ⋯ ⋯ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & ⋯ & a_{n n} \end{array}$

A、 $m = 2$ B、 $a_{78} = 15 \times 2^{8}$ C、 $a_{i j} = (2 i + 1) \cdot 2^{j - 1}$ D、 $S = n (n + 2) (2^{n} - 1)$

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = l n x + x + 1$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 已知命题 $p ： \exists x \in (0 ， 3) ， x^{2} - a - 2 l n x \leq 0$ .若 $p$ 为假命题，则 $a$ 的取值范围为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 为边 $B C$ 上任意一点， $N$ 为 $A M$ 的中点，且满足 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ^{2} + μ^{2}$ 的最小值为.

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16. 定义 $‖ x ‖ (x \in R)$ 为与 $x$ 距离最近的整数（当 $x$ 为两相邻整数算术平均值时， $‖ x ‖$ 取较大整数），令函数 $G (x) = ‖ x ‖$ ，如： $G (\frac{4}{3}) = 1 ， G (\frac{5}{3}) = 2 ， G (2) = 2 ， G (2.5) = 3$ .则 $\frac{1}{G (1)} + \frac{1}{G (\sqrt{2})} + \frac{1}{G (\sqrt{3})} + \frac{1}{G (\sqrt{4})} + \frac{1}{G (\sqrt{5})} + \frac{1}{G (\sqrt{6})} =$ ； $\frac{1}{G (1)} + \frac{1}{G (\sqrt{2})} + \frac{1}{G (\sqrt{3})} + ⋯ + \frac{1}{G (\sqrt{2023})} =$ .

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四、解答题

17. 设两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ .

(1)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = - 3$ ，求 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，向量 $2 t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + t \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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18. 在① $\frac{s i n A}{s i n B} + \frac{s i n B}{s i n A} + 1 = \frac{c^{2}}{a b}$ ， ② $(a + 2 b) c o s C + c c o s A = 0 ，$ ③ $\sqrt{3} a s i n \frac{A + B}{2} = c s i n A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3} ， s i n A + s i n B = 4 s i n A s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意实数 $x$ ，都有 $f (x + 2) = f (- x)$ 成立.已知当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{a} (2 - x) (a > 1)$ .

(1)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时，求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为1，当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时，求不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集.

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20. 第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒 $x$ 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为 $H (x)$ 万元， $H (x) = {\begin{array}{l} 280 - 3 x ， 0 < x \leq 20 ， \\ 90 + \frac{3000 (x - 2)}{x (x + 1)} ， x > 20 . \end{array}$

(1)、写出年利润 $M (x)$ （万元）关于年产是 $x$ （万箱）的函数解析式（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）；

(2)、年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2 ， S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - n$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + 2^{2} b_{2} + 3^{2} b_{3} + ⋯ + n^{2} b_{n} = n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{(n + 1) b_{n + 2}}{{[l o g_{3} (a_{n} + 1)]}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{5}{16}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} a x^{2} - 2 l n x + (2 a - 3) x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， 1]$ 的最小值；

(2)、若方程 $f (x) = k$ 有两个不同的解 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} ， x_{0} ， x_{2}$ 成等差数列，试探究 $f^{'} (x_{0})$ 值的符号.

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