辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 2}$ ， $B = {- 2 ， 0}$ ，则集合 $A \cup B$ 的子集个数为（）

A、32 B、16 C、8 D、15

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2. 若 $z \cdot (1 + i) = 3 - 2 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知命题p：已知 $x \in R$ ，则 $\exists n \in N$ ， $n \leq x^{2}$ ，则 $\neg p$ ：（）

A、已知 $x \in R$ ，则 $\exists n \in N$ ， $n > x^{2}$ B、已知 $x \in R$ ，则 $\forall n \notin N$ ， $n \leq x^{2}$ C、已知 $x \in R$ ，则 $5 m x_{}^{2} + k x + 3 > 0 \Leftrightarrow 2 x_{}^{2} - x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{3}{2}$ ， $n > x^{2}$ D、已知 $x \in R$ ，则 $5 m x_{}^{2} + k x + 3 > 0 \Leftrightarrow 2 x_{}^{2} - x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{3}{2}$ ， $n \leq x^{2}$

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4. 已知 $a = 1 . 2^{0.2}$ ， $b = l o g_{0.2} 1.2$ ， $c = 0 . 8^{1.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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5. 鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 钝角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 3 ， b = 2 c$ ，且 $9 s i n B - 2 s i n C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、9 B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{15}{2}$ 或9

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7. 若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈 $2 \sqrt{3} c m$ ，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} c m$ .现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移 $\frac{\sqrt{3}}{2} c m$ ，当水位线离瓶口不大于 $\sqrt{3} c m$ 时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（）

A、2颗 B、3颗 C、4颗 D、5颗

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二、多选题

9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则（）

A、异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、点 $A$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、点 $A$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 函数 $f (x) = \frac{x^{α}}{1 - | x |} (α \in R)$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $f (x) = \frac{x}{l n x}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在x＝e处的切线平行于x轴 B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， e)$ C、 $f (x)$ 的极小值为e D、方程 $f (x) = - 1$ 没有实数解

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1 ， 1)$ ， $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、当A，B是锐角 $△ A B C$ 的内角时， $f (s i n A) < f (c o s B)$ D、当 $x_{n} > 0$ ，且 $\frac{1}{x_{n + 1}} = \frac{1 + x_{n}^{2}}{2 x_{n}}$ ， $x_{1} = \frac{1}{2}$ 时， $f (x_{n}) = 2^{n - 1}$

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三、填空题

13. 若 $t a n α = \frac{1}{3} ， t a n (π - β) = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n (α + β) =$ ．

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{11} = 6$ ，则 $S_{15} =$ ．

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15. 若过 $x$ 轴上一点 $P (x_{0} ， 0)$ 所作的曲线C： $y = (x - 1) e^{x}$ 的切线有且只有一条，则 $x_{0}$ 的一个可能值为，此时的切线方程为．

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四、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、已知 $f (2 m - 1) < f (2 - m^{2})$ ，求 $m$ 的取值范围．

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17. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{24} ， \frac{13 π}{24}]$ 上的值域．

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18. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 39$ ， $a_{4} - a_{1} = 78$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \sqrt{l o g_{3} a_{n}}$ ，若 $b_{m + 21} = b_{m} + b_{m + 5}$ ，求m．

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，PA＝PD， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ， AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面PCE；

(2)、若 $P A = \sqrt{5}$ ，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．

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20. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100 $\sqrt{3}$ m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北 $1 5^{∘}$ 方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为 $4 5^{∘}$ ，拍摄羚羊的俯角为 $6 0^{∘}$ ，假设A，B，C三点在同一水平面上．

(1)、求此时猎豹与羚羊之间的距离．

(2)、若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东 $1 5^{∘}$ 方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - (1 - a) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当a＝1时，若函数 $y = f (x) - e^{t} (l n x + t)$ 有两个零点，求实数t的取值范围．

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