江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{| 2 - i |}{2 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $M = {x | 2 x - a \leq 0}$ ， $N = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ．若 $M \cap N \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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3. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b \leq 1$ ”是“ $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式 $S = a b^{t}$ ，若经过5年，二氧化碳的排放量为 $\frac{4 a}{5}$ （亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为 $\frac{a}{4}$ （亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）（）

A、28 B、29 C、30 D、31

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5. 如图是函数 $f (x)$ 的大致图象，则函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) =$ （）

A、 $\frac{| x |}{1 - x^{2}}$ B、 $\frac{s i n x}{1 - x^{2}}$ C、 $\frac{x^{2}}{1 - | x |}$ D、 $\frac{e^{| x |}}{1 - | x |}$

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6. 已知 $\frac{1}{t a n α} = 2 - \frac{1}{s i n α}$ ，则 $t a n (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 已知正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°．圆柱 $O_{1} O$ 的上底面圆 $O_{1}$ 与正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的侧面均相切，下底面圆O在该正六棱锥底面内，则圆柱 $O_{1} O$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{4}{9} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$

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8. 若 $(\frac{x}{2} + 1) y = e^{x} \cdot l n \frac{e y}{2}$ ，其中 $x > 0$ ， $y > 2$ ，则（）

A、 $e^{x} > y$ B、 $e^{\frac{x}{2}} > y$ C、 $4 e^{\frac{x}{2}} < y$ D、 $2 e^{x} > y$

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二、多选题

9. 设 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项的和，且 $a_{1} < 0$ ， $S_{2000} = S_{2022}$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{2011} = 0$ C、 $S_{4022} = 0$ D、 $S_{n} \geq S_{2011}$

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10. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为R，它们的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ．若 $y = f (x + 1)$ 是奇函数， $g^{'} (x) = c o s (π x)$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 B、 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $\sum_{i = 1}^{m} (x_{i} + y_{i}) = m$

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11. 在圆O的内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $C D = D A = 4$ ，则（）

A、 $B D = 2 \sqrt{7}$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ C、 $\vec{A O} \cdot \vec{B D} = 12$ D、 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 16$

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12. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， E为DC的中点．将 $△ C B E$ 绕直线BE旋转至 $△ C_{1} B E$ 的位置，F为 $A C_{1}$ 的中点，则（）

A、存在某个位置，使得 $B E ⊥ A C_{1}$ B、存在无数个位置，使得 $D F$ ∥平面 $C_{1} B E$ C、当二面角 $C_{1} - B E - A$ 为120°时，点F到平面 $C_{1} B E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、当四棱锥 $C_{1} - A B E D$ 的体积最大时，以 $A C_{1}$ 为直径的球面与被平面 $C_{1} B E$ 截得的交线长为 $\frac{π}{2}$

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三、解答题

13. 已知 $\vec{a}$ 为单位向量，向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $λ \vec{a}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n}$ ．

(1)、求证： ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 3}{(n + 2) a_{n}}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n} < 1$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b s i n A - b c o s A = a - c$ ．

(1)、求B；

(2)、若点D在AC边上，满足 $A C = 3 A D$ ，且 $A B = 3$ ， $B D = 2$ ，求 $c o s ∠ C B D$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + a x + 1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是 $f (x)$ 的极大值点和极小值点．

(1)、若 $a = 0$ ， $f (x_{1}) = f (x_{3})$ ， $x_{1} \neq x_{3}$ ，求 $2 x_{1} + x_{3}$ 的值；

(2)、若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 5$ ，求a的取值范围．

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17. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ ， $B C = B D = C D = 2$ ， O为BD中点．

(1)、求二面角 $A - C D - B$ 的正弦值；

(2)、E为 $△ A C D$ 内的动点（包含边界），且 $O E / /$ 平面 $A B C$ ，求OE与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的最大值．

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18. 已知双曲线C： $x^{2} - y^{2} = 8$ 的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．

(1)、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，求l的方程；

(2)、若点 $P (- 4 ， 2)$ ，直线AP交直线 $x = - 2$ 于点Q．设直线QA，QB的斜率分别 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} - k_{2}$ 为定值．

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19. 已知函数 $f (x) = (x - p) e^{x}$ 的极值为 $- 1$ ．

(1)、求p的值，并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (a) = f (b) (a \neq b)$ ，证明： $a + b + e^{a} + e^{b} < 2$ ．

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四、填空题

20. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小一份的量为.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 - A s i n^{2} (x - φ) (A > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小值为0，且 $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ ，则 $f (x)$ 图象的一个对称中心的坐标为．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} (a \in R)$ ，若直线 $y = x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，则 $a =$ ；若直线 $y = x$ 与曲线 $y = f (x)$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $x_{1} y_{1} \geq 4 x_{2} y_{2}$ ，则a的取值范围是．

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