河南省2023届高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x - y = 0}$ ， $B = {(x ， y) | x - y^{2} = 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${(0 ， 1)}$ C、 ${(0 ， 0) ， (1 ， 1)}$ D、 $\emptyset$

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2. 若 $a > b > 0 > c$ ，则（）

A、 $(a - b) c > 0$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、 $a - b > a - c$ D、 $\frac{1}{a + c} < \frac{1}{b + c}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，则 $\frac{S_{6} - S_{3}}{a_{2} + a_{8}} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $α$ 为第三象限角，且 $c o s 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是 $a_{1} > 0$ 的无穷等比数列，则“ ${a_{n}}$ 为递增数列”是“ $\forall k \geq 2$ 且 $k \in N^{*}$ ， $a_{k} > a_{1}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角正切值为 $2 \sqrt{6}$ ，且 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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7. 已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a ： b ： c = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{12} a^{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{12} b^{2}$ C、 $\frac{a^{2}}{12}$ D、 $\frac{b^{2}}{12}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ ，不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集为 $(\frac{3 (1 - \sqrt{5})}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{3 (1 + \sqrt{5})}{2})$ ，则不等式 $f (x) \leq - 27$ 的解集为（）

A、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x = 3}$ B、 ${x | x \leq 3}$ C、 ${x | x \geq - 3}$ D、 ${x | x \geq 3$ 或 $x = - 3}$

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9. 若 $2^{a} = 3^{b} = 6^{c}$ ，且 $a b c \neq 0$ ，则（）

A、 $\frac{a}{c} - \frac{a}{b} = 1$ B、 $\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = 1$ C、 $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = 1$ D、 $\frac{a}{b} - \frac{b}{c} = 1$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $a = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $f (0) < f (- 2) < f (2)$ C、 $α = \frac{π}{4}$ D、 $c o s β = 0 或 c o s β = 1$

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11. 对任意实数 $x$ ，定义 $[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数，如 $[0.2] = 0$ ， $[1.5] = 1$ ， $[2] = 2$ .已知函数 $f (x) = [x] \cdot s i n π x$ ，则方程 $| f (x) | = 3 - \frac{x}{50}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的实根个数为（）

A、290 B、292 C、294 D、296

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12. 已知点 $P$ 在曲线 $y = - \frac{1}{x} (x > 0)$ 上运动，过 $P$ 点作一条直线与曲线 $y = e^{x}$ 交于点 $A$ ，与直线 $y = \sqrt{e} (x - 1)$ 交于点 $B$ ，则 $| | P A | - | P B | |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{e} - 1$ B、 $\sqrt{e} + 1$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{\frac{e}{e + 1}}$ D、 $\sqrt{\frac{e}{e + 1}}$

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二、填空题

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2$ ， $a_{5} = 4$ ，则 $a_{11} =$ .

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = λ \vec{A D}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A B}$ ， $λ μ > 0$ ，且 $E$ ， $C$ ， $F$ 三点共线，则 $λ + μ$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (\frac{π}{2} + x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ， $f (\frac{π}{2}) = 3$ ，且 $f^{'} (x) s i n x + f (x) c o s x > 0$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内恒成立（ $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数），若不等式 $f (4 π + x) s i n (3 π - x) \leq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 设 $- 1 = a_{1} \leq a_{2} \leq ⋯ \leq a_{7}$ ，其中 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ 成公差为 $d$ 的等差数列， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 成公比为3的等比数列，则 $d$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α ， β ， γ (α ， β ， γ \in (0 ， 2 π))$ 的顶点在原点，始边均与 $x$ 轴正半轴重合，角 $α$ 的终边经过点 $A (- 1 ， 2)$ ，角 $β$ 的终边经过点 $B (3 ， 4)$ .

(1)、求 $t a n (α - β)$ 的值；

(2)、若角 $γ$ 的终边为 $∠ A O B$ （锐角）的平分线，求 $s i n^{2} γ$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均不为0，其前 $n$ 项的乘积 $T_{n} = 2^{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为常数列，求这个常数；

(2)、若 $a_{1} = 4$ ，设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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19. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ ， $5 B C = 2 \sqrt{2} C D$ ， $A B = \sqrt{10}$ ， $A D = 3$ .

(1)、求 $t a n ∠ B D C$ 的值；

(2)、求 $B D$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{S_{n}}{2^{n - 1}}}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ 的最小值为1.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + x (x - 3)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，求证： $2 x_{1} + x_{2} > x_{3}$ .

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