浙江省绍兴市嵊州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-12-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. $c o s 30 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 将抛物线 $y = 3 x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线（）

A、 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 1$ C、 $y = 3 {(x - 1)}^{2} - 1$ D、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 1$

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3. 在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同.从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{A D}{E C} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$

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5. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（）

A、3.71cm B、4.14cm C、4.32cm D、4.86cm

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6. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为6，以顶点A为圆心， $A B$ 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $12 π$

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7. 如图，在Rt $△ A B C$ 中，CD是斜边AB上的高， $∠ A \neq 45 °$ ，则下列比值中不等于 $s i n A$ 的是（）

A、 $\frac{C D}{A C}$ B、 $\frac{B D}{C B}$ C、 $\frac{C B}{A B}$ D、 $\frac{C D}{C B}$

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8. 如图，CD是 $⊙ O$ 的弦，直径 $A B ⊥ C D$ ，垂足为M，连接AD.若 $C D = 8$ ， $B M = 2$ ，则AD的长为（）

A、10 B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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9. 如图， $A B = A C = 25 c m$ ， $D B = D E = 5 c m$ ，点B，E，C三点共线， $A B ⊥ B D$ .若 $B E = 6$ ，则BC的长为（）

A、45cm B、42cm C、40cm D、 $5 \sqrt{26} c m$

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10. 已知A，B两点的坐标分别为 $(- 2 ， - 2)$ ， $(1 ， 2)$ ，线段AB上有一动点 $M (m ， n)$ ，过点M作x轴的平行线交抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + b$ 于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点（点P在Q的左侧）.若 $x_{1} < m \leq x_{2}$ 恒成立，则b的取值范围为（）

A、 $b \leq 1$ B、 $b \geq 6$ C、 $- 1 < b \leq 6$ D、 $- 2 < b \leq 5$

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二、填空题

11. 已知 $2 m - 7 n = 0$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为.

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12. 某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表：
移植总数/棵
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活的频率
0.940
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.900
若要有18000棵树苗成活，估计需要移植棵树苗较为合适.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若 $B (0 ， 1)$ ， $D (0 ， 3)$ ，则△OAB与△OCD的面积比为.

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14. 如图，直线 $y = k x + b$ 与抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 交于点 $A ， B$ ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 > k x + b$ 的解集为．

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15. 如图，△ABC内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，连接AO，CO.若 $B C = 6$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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16. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连接DM，以DM为直角边作直角三角形DEM，使得 $∠ D E M = 30 °$ ，斜边DE所在直线交射线MC于点F.若△MDF的面积是△MEF面积的 $\sqrt{3}$ 倍，则CM的长为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $c o s^{2} 45 ° + t a n 60 ° \cdot c o s 30 °$ .

(2)、已知线段c是线段a，b的比例中项，且 $a = 4$ ， $b = 16$ ，求线段c的长.

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18. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上.

(1)、甲坐在①号座位的概率是；

(2)、用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.

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19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）

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20. 已知：如图，在△ABC中， $A B = A C$ ，以腰AB为直径作 $⊙ O$ ，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE.

(1)、求证： $B D = D C$ .

(2)、若 $∠ B A C = 50 °$ ，求 $∠ O D E$ 的度数.

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21. 嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面 $O B$ 长 $240$ 米.点 $A$ 是桥面 $O B$ 的中点，钢梁最高点 $C$ ， $D$ 离桥面的高度均为 $30$ 米.以桥面 $O B$ 所在的直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O B$ 的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系.

(1)、求过点 $O$ ， $C$ ， $A$ 三点的抛物线表达式.

(2)、“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为 $22.5$ 米的拱形钢梁的点 $E$ 处（点 $E$ 在点 $C$ 的左侧），小明从点 $O$ 出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点 $E$ 正下方的点 $F$ 处，则小明通过桥面 $O B$ 需多少分钟？

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22. 在矩形ABCD中， $A B = 2$ ， E是AD上一点， $A E = 1$ .将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.

(1)、如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上.
①求证： $△ B C F ∽ △ F D E$ .
②求边AD的长.

(2)、如图2，若点F落在对角线BD上，求边AD的长.

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23. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点之间的“直角距离”为 $d (P ， Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ .二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 4$ 的图象如图所示.

(1)、点A为图象与y轴的交点，点 $B (- 1 ， b)$ 在该二次函数的图象上，求 $d (A ， B)$ 的值.

(2)、点C是二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 4 (x \geq 0)$ 图象上的一点，记点C的横坐标为m.
①求 $d (O ， C)$ 的最小值及对应的点C的坐标.
②当 $t \leq m \leq t + 1$ 时， $d (O ， C)$ 的最大值为p，最小值为q，若 $p - q = \frac{3}{4}$ ，求t的值.

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24. 正方形ABCD的四个顶点都在 $⊙ O$ 上，点P是劣弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上一点（点P与点C，D不重合），连接PA，PD.

(1)、如图1，求 $∠ A P D$ 的度数.

(2)、如图2，连接PB.在线段PB上取点M，使得 $A M = A B$ ，过点M作 $M N ∥ A B$ 交PA于点N.记PA，PB与边CD交于点E，F.
①求证： $△ A D P ≌ △ A M P$ .

②若 $M N = 5$ ， $C F = 12$ ，求正方形ABCD的面积.

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移植总数/棵	50	270	400	750	1500	3500	7000	9000	14000
成活的频率	0.940	0.870	0.923	0.883	0.890	0.915	0.905	0.897	0.900