2012年高考理数真题试卷（全国卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题（．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 复数 $\frac{- 1 + 3 i}{1 + i}$ =（）

A、2+i B、2﹣i C、1+2i D、1﹣2i

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2. 已知集合 $A = \{1, 3, \sqrt{m}\}$ ， B={1，m}，A∪B=A，则m=（　　）

A、0或 $\sqrt{3}$ B、0或3 C、1或 $\sqrt{3}$ D、1或3

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3. 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=2，CC₁=2 $\sqrt{2}$ ，E为CC₁的中点，则直线AC₁与平面BED的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₅=5，S₅=15，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前100项和为（）

A、 $\frac{100}{101}$ B、 $\frac{99}{101}$ C、 $\frac{99}{100}$ D、 $\frac{101}{100}$

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6. △ABC中，AB边的高为CD，若 $\vec{C B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{C A}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =0，| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，则 $\vec{A D}$ =（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{5} \vec{a} - \frac{3}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{4}{5} \vec{a} - \frac{4}{5} \vec{b}$

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7. 已知α为第二象限角， $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cos2α=（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 已知F₁、F₂为双曲线C：x²﹣y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 已知x=lnπ，y=log₅2， $z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、x＜y＜z B、z＜x＜y C、z＜y＜x D、y＜z＜x

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10. 已知函数y=x³﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）

A、﹣2或2 B、﹣9或3 C、﹣1或1 D、﹣3或1

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11. 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、36种

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12. 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上， $A E = B F = \frac{3}{7}$ ，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）

A、16 B、14 C、12 D、10

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二、填空题，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x + 3 y - 3 \geq 0 \end{matrix}$ 则z=3x﹣y的最小值为．

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14. 当函数y=sinx﹣ $\sqrt{3}$ cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=

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15. 若 ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为．

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16. 三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．

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18.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．

(1)、证明：PC⊥平面BED；

(2)、设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

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19. 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

(1)、求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(2)、ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．

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20. 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

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21. 已知抛物线C：y=（x+1）²与圆 $M ： {(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = r^{2}$ （r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．

(1)、求r；

(2)、设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

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22. 函数f（x）=x²﹣2x﹣3，定义数列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是过两点P（4，5），Q_n（ x_n ， f（x_n））的直线PQ_n与x轴交点的横坐标．

(1)、证明：2≤x_n＜x_n+1＜3；

(2)、求数列{ x_n}的通项公式．

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