上海市嘉定区2022-2023学年九年级上学期数学期中考试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $x ： y = 1 ： 2$ ，那么下列各式不一定成立的是（　　）

A、 $\frac{x + y}{y} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{x - y}{y} = - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 x}{y} = 1$ D、 $\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{2}{3}$

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2. 已知线段a、b、c，作线段x，使 $a ： b = c ： x$ ，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列命题正确的是（　　）

A、如果| $\vec{a}$ |＝| $\vec{b}$ |，那么 $\vec{a}$ ＝ $\vec{b}$ B、如果 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，那么 $\vec{a}$ ＝ $\vec{b}$ C、如果 $\vec{a}$ ＝k $\vec{b}$ （k≠0），那么 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ D、如果m＝0或 $\vec{a}$ ＝ $\vec{0}$ ，那么m $\vec{a}$ ＝0

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4. 下列命题中，属于真命题的是（　　　）

A、两个菱形一定相似 B、两个等腰直角三角形一定相似 C、两个矩形一定相似 D、两个周长相等的三角形一定相似

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5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）

A、DE $∥$ BC B、∠AED＝∠B C、 $\frac{A E}{A D} = \frac{A B}{A C}$ D、 $\frac{A E}{D E} = \frac{A C}{B C}$

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6. 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝ $\sqrt{2}$ ，则此三角形移动的距离是（　　）

A、 $\sqrt{2}$ -1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

7. 已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．

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8. 已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为．

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9. 计算： $2 (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) - \frac{1}{2} (2 \vec{a} + 4 \vec{b})$ = ．

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10. 在 $1 ： 5000000$ 的地图上，某城市A与另一个城市B的距离是2.4cm，那么城市A与B的实际距离为千米．

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11. 如图，已知D是△ABC的边AC上一点，且AD＝2DC ．如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{B D}$ 关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分解式是．

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12. 如图，已知 $A D ∥ B E ∥ F C$ ， $A C = 10 ， D E = 3 ， E F = 2$ ，那么 $A B =$ ．

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13. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $B C$ 上，射线 $A E$ 交 $D C$ 的延长线于点F， $A B = 2$ ， $B E = 3 E C$ ，那么 $D F$ 的长为．

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14. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则重心与斜边中点的距离是．

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15. 如图，已知在 $Δ A B C$ 中，边 $B C = 6$ ，高 $A D = 3$ ，正方形 $E F G H$ 的顶点E、F在边 $B C$ 上，顶点H、G分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上，那么这个正方形的边长等于．

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16. 如图，已知 $A D ∥ B C$ ， $S_{△ A O D} = 4$ ， $S_{△ B O C} = 9$ ，则 $S_{△ A B O}$ = ．

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17. 如图，四边形 $A B C D ， C D E F ， E F G H$ 都是正方形， $∠ A C B + ∠ A F B + ∠ A G B =$ °

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3 ， A C = 4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，将 $△ A B C$ 绕着点A旋转，点B与点C的对应点分别是点E、F，如果点E恰好在 $A D$ 的延长线上，那么 $B E$ 的长是．

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三、解答题

19. 已知： $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ，且 $2 x - 3 y + z = - 2$ ，求 $x + y - z$ 的值．

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20. 已知，如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点，重心G在 $C D$ 上．

(1)、如果向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{G C}$ ；

(2)、在原图中过点D画 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点E，并画出 $\vec{D E}$ 在 $\vec{D A}$ 、 $\vec{D C}$ 方向上的分向量．（不要求写作法，要写出结论）

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21. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．

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22. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，点F在线段 $B C$ 上， $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{B F}{C F} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求证： $A B ∥ E F$ ；

(2)、求 $A B ： E F ： C D$ ．

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23. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC交于点F．

(1)、求证：△ABD∽△FDC；

(2)、求证：AE²＝BE•EF．

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24.

(1)、如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $A B$ 上一点， $∠ A C D = ∠ B$ ，则 $A C^{2} =$ ．（直接写出结论，不需要证明）

(2)、如图，在 $▱ A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，F为 $C D$ 延长线上一点， $∠ B F E = ∠ A$ ，若 $B F = 4$ ， $B E = 3$ ，求 $A D$ 的长．

(3)、如图，在菱形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 上一点，F是 $△ A B C$ 内一点， $E F ∥ A C$ ， $A C = 2 E F$ ， $∠ E D F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，求证： $D E = \sqrt{2} E F$ ．

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25. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ．点E在 $B C$ 的延长线上，且 $C E = B C$ ，点F在射线 $C E$ 上，联结 $A F$ 、 $D E$ ，直线 $A F$ 与直线 $D E$ 交于点M．

(1)、如图2，点F在线段 $C E$ 的延长线上，求证： $△ A C F ∽ △ M D A$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $C F = x$ ， $△ E M F$ 的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)、如果 $E M = 1$ ，求 $E F$ 的长．

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