上海市黄浦区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C = 3 ， A B = 4$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{3}{4}$ B、 $c o s A = \frac{3}{4}$ C、 $t a n A = \frac{3}{4}$ D、 $c o t A = \frac{3}{4}$

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2. 点P是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > P B$ ，则下列等式不成立的是（）

A、 $\frac{P B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{A P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $A P^{2} = A B \cdot B P$ D、 $A B^{2} = A P^{2} + P B^{2}$

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3. 下面命题中，错误的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{a} = 0$ B、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ C、如果 $\vec{a} = \vec{b}$ ，那么 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、如果 $\vec{a} = k \cdot \vec{b} (k \neq 0)$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，下列给出的条件，其中不一定能判定 $D E ∥ A C$ 的是（）

A、 $∠ B D E = ∠ A$ B、 $\frac{A D}{C E} = \frac{B D}{B E}$ C、 $\frac{D E}{A C} = \frac{B D}{A B}$ D、 $\frac{B E}{B C} = \frac{B D}{B A}$

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5. 下列图形中，一定相似的是（）

A、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B、有一个内角为80°的两个等腰三角形 C、两个长方形 D、有一个内角为80°的两个菱形

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6. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 2 ， A C = \sqrt{3}$ ，则BC的值（）

A、只有1个 B、可以有2个 C、可以有3个 D、无数个

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二、填空题

7. 已知 $x ： y = 2 ： 3$ ，那么 $(x + y) ： y =$ ．

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8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，如果 $a = 2$ ， $c = 18$ ，那么b= ．

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9. 如果两个相似三角形的面积之比是4：25，其中小三角形最大内角的角平分线长是12cm，那么大三角形最大内角的角平分线长是cm．

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $B C = 3$ ， $t a n A = \frac{2}{3}$ ，那么 $A C =$ ．

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11. 如图， $△ A D E ∽ △ A C B$ ，已知 $∠ A = 50 ° ， 4 ∠ A D E = ∠ B$ ，则 $∠ C =$ $°$ ．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $△ A B C$ 的重心，若 $C D = 2$ ，则 $A B =$ ．

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13. 如图， $A D$ 、 $B C$ 相交于点O，点E、F分别在 $B C$ 、 $A D$ 上， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，如果 $C E = 6$ ， $E O = 4$ ， $B O = 5$ ， $A F = 6$ ，那么 $A D =$ ．

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14. 如图，正方形 $E F G H$ 内接于 $R t △ A B C$ ， $∠ A = 90 ° ， B C = 12$ ，若 $△ A B C$ 的面积是36，则 $E H$ 的长是．

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15. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，M是 $D E$ 的中点， $C M$ 的延长线交 $A B$ 于点N，则 $S_{△ D M N} ： S_{四边形 D B C M} =$ ．

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16. 如图，等边 $△ C D E$ 的顶点D在等边 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上滑动， $D E$ 与 $B C$ 交于点F，当 $A D ： D B = 3 ： 4$ 时，则 $\frac{B F}{C F} =$ ．

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17. 定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， A C = 6 ， B C = 5$ ， $△ A B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 以点A为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 $△ A B^{″} C^{″}$ （点 $B^{″} ， C^{″}$ 分别与 $B 、 C$ 对应），其中 $B^{″} C^{″}$ 边的长为

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B$ 、 $A C$ 于点D、E，且 $D E$ 将 $△ A B C$ 分成面积相等的两部分．把 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折，点A落在点F的位置上， $D F$ 交 $B C$ 于点G，联结 $C F$ ，若 $C F ∥ A B$ ，那么 $C F ： A B$ 的值是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{1 - 2 c o t 30 ° + c o t^{2} 30 °} - \frac{4 c o s 60 °}{t a n 60 ° - c o t 45 °}$

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20. 在 $△ A B C$ 中，点D是边 $B C$ 上的一点， $B D ： C D = 2 ： 3$ ． $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、填空： $\vec{B D} =$ ；（结果用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

(2)、在原图中分别作出向量 $\vec{A D}$ 在向量 $\vec{a}$ 、向量 $\vec{b}$ 方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所做图中表示结论的向量）．
$\vec{A D}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的分向量是； $\vec{A D}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的分向量是．

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21. 已知：如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点E是边 $A C$ 上的一点，且 $∠ A B E = ∠ C$ ， $A B = 3 ， A C = 4$ ．

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、求 $∠ E B C$ 的余弦值．

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22. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点E，点F在 $A B$ 边上，且 $E F ∥ B C$ ．已知 $A D = 3 ， B C = 6$ ．

(1)、求： $E F$ 的长；

(2)、填空：若 $S_{△ A E F} = 5$ ，则 $S_{△ E C D} =$ ．

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23. 已知：如图，菱形 $A B C D$ ，点E是 $A B$ 的中点， $A F ⊥ B C$ 点F，连接 $E F$ 、 $E D$ 、 $D F$ ， $D E$ 交 $A F$ 于点G，且 $D E ⊥ E F$ ．

(1)、求证： $A E^{2} = E G \cdot E D$

(2)、求证： $B C^{2} = 2 D F \cdot B F$ ．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C A = 3$ 厘米， $C B = 2$ 厘米．动点P从点C出发，沿 $C B$ 方向以1厘米/秒的速度向B运动，动点Q从点B同时出发，沿 $B C$ 方向以1厘米/秒的速度向C运动．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，以 $C P$ 为一边向上作正方形 $C P D E$ ，过点Q作 $Q F ∥ A B$ ，交AC于点F．设点P的运动时间为t秒，正方形 $C P D E$ 和梯形 $A F Q B$ 重合部分的面积为S平方厘米．

(1)、当t=秒时，点P于点Q重合；

(2)、当t=秒时，点D在 $Q F$ 上；

(3)、当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B C = 12$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点O，点M为对角线 $A C$ 上一点，连接 $B M$ ，在 $∠ A B M$ 内部做射线 $B P$ 与线段 $A O$ 交于点N（不与点A、点O重合）、与线段 $A D$ 交于点P，且 $∠ M B N = ∠ D B C$ ．

(1)、当 $C M = 4$ ，求 $∠ A P B$ 的正切值；

(2)、射线 $B P$ 交射线 $C D$ 与点Q，若 $△ Q B D ∽ △ D B P$ ，求 $C M$ 的长；

(3)、设线段 $C M = x$ ， $y = \frac{A N}{N O}$ ，写出y关于x的函数关系式，并写出取值范围．

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