上海市奉贤区五校联考2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $R t △ A B C$ 中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（）

A、扩大4倍 B、保持不变 C、缩小2倍 D、缩小4倍

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2. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个等腰直角三角形 B、各有两边长是4和5的两个直角三角形 C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形 D、各有一个角是 $40 °$ 的两个等腰三角形

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $C D = A B \cdot t a n B$ B、 $C D = B C \cdot s i n B$ C、 $C D = A C \cdot s i n B$ D、 $C D = A D \cdot c o t A$

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4. 已知线段a，b，c，求作线段x，使 $b x = a c$ ，下列作法中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，正方形 $D E F G$ 的边 $E F$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点D、G分别在边 $A B 、 A C$ 上，已知 $△ A B C$ 的边 $B C$ 长15厘米，高 $A H$ 为10厘米，则正方形 $D E F G$ 的边长是（）

A、4厘米 B、5厘米 C、6厘米 D、8厘米

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6. 如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图， $△ A B C$ 的三个顶点和线段 $D E$ 的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 相似的点F有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 已知 $x ： y = 2 ： 3$ ，那么 $(x + y) ： y =$ ．

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8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=4，那么b=

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9. 已知点P是线段 $C D$ 的黄金分割点 $(C P < D P)$ ，若 $D P = 6$ 厘米，那么 $C P =$ 厘米．

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10. 在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=2，AB=3，则tan A=.

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11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $t a n A = 3$ ， $s i n C =$ ．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中 $∠ B A C = ∠ A D C = 90 °$ ，添加一个条件，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明 $R t △ D C A ∽ R t △ A B C$ ．

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13. 如图：已知 $△ A B C$ 中，D是AB上一点，添加一个条件，可使 $△ A B C ∽ △ A C D$ ．

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14. 如图，点G是 $△ A B C$ 的重心，DE过点G， $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ ，那么BF：CF= ．

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15. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C ∥ E F$ ，如果 $A E = 3 ， A B = 8 ， C D = 10$ ，则 $C F$ 的长是．

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16. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B D^{2} = A D \cdot B C$ ，若 $A B ： C D = 1 ： 2$ ，则 $A D ： B C =$ ．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， A B = a$ ，点E、F是对角线 $B D$ 上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接 $A E 、 E C 、 A F 、 C F ，$ 若四边形 $A E C F$ 是菱形，且与菱形 $A B C D$ 是相似菱形，那么菱形 $A E C F$ 的边长是．（用a的代数式表示）．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 13 ， t a n A = \frac{5}{12}$ ， $C D$ 是边 $A B$ 上的中线，把 $△ A B C$ 绕点D旋转，点A、B、C分别与点 $A^{'} 、 B^{'} 、 C^{'}$ 对应， $C^{'} D$ 与边 $A C$ 交于点E，在旋转过程中，若 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，那么 $\frac{A E}{A C} =$ ．

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三、解答题

19. 已知实数a、b、c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{4}$ ，且 $a - 3 b + 2 c = - 8$ ．求： $\frac{a - 2 b}{2 c - 3 b}$ 的值．

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20. 计算： $\frac{2 c o s^{2} 30 ° - s i n 30 °}{3 c o t^{2} 60 ° - 2 s i n 45 °}$

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上， $∠ A D E = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∼ △ D C E$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $B D = 2$ ，求点E到 $B C$ 的距离．

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22. 如图， $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B ， A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，连接 $B E ， C D$ 相交于点O， $A E = 2 ， A D = E C = 3 ， B D = 4.5 ， D E = 4$ ．

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、若 $S_{△ B O C} = 5$ ，求 $△ C E D$ 的面积．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点P在 $O C$ 上，连接 $B P$ ，延长 $B P$ 交 $C D$ 于点Q，过点P作 $P E ⊥ B P$ 分别交 $A D 、 B D$ 于点E、F．

(1)、求证： $△ A P E ∽ △ D B Q$ ；

(2)、求证： $D E \cdot C P = C Q \cdot D F$ ．

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24. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像经过点A、 $B (- 1 ， 0)$ ，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图像也经过点A，且点A横坐标是2．

(1)、求一次函数的解析式．

(2)、点C是x轴正半轴上的一点，连接 $A C$ ， $t a n ∠ A C B = \frac{3}{4}$ ，过点C作 $C E ⊥ x$ 轴分别交反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 和一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像于点D、E，求点D、E的坐标．

(3)、在（2）的条件下，连接 $A D$ ，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像上是否存在一点F使得 $△ E A D$ 和 $△ E C F$ 相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $B C = 10$ ．点D是边 $B C$ 上一动点，过点D作 $D E ⊥ B C$ 交射线 $C A$ 于点E，把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 翻折，点C落在点G处， $A D$ 和 $G E$ 相交于点F．

(1)、若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．

(2)、在（1）的条件下，求证： $△ A F B ∽ △ E F D$ ．

(3)、是否存在这样的点D，使得 $△ A B G$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出这时 $∠ C A D$ 的正切值；若不存在，请说明理由．

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