山西省忻州市五台县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知一元二次方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ ，下列判断正确的是（）

A、该方程有两个不相等的实数根 B、该方程有两个相等的实数根 C、该方程无实数根 D、该方程根的情况无法确定

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3. 对于抛物线 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ ，下列判断正确的是（）

A、顶点 $(- 1 ， 3)$ B、抛物线向左平移 $3$ 个单位长度后得到 $y = - 2 (x - 2)^{2} + 3$ C、抛物线与y轴的交点是 $(0 ， 1)$ D、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大

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4. 如图所示，在 $⊙ O$ 中， $∠ B A C = 25 °$ ， $∠ C E D = 30 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、55° B、110° C、125° D、150°

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5. 将一个容积为600cm³的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（　　）

A、 $15 (1 - x) = 136.7$ B、 $30 (30 - 2 x) \cdot x = 600$ C、 $151 (5 - x) \cdot x = 600$ D、 $x (15 - x) \cdot x = 600$

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6. 下表中列出的是一个二次函致的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（）
x
…
$- 2$
0
1
3
…
y
…
$- 6$
4
6
4
…

A、函数的图象开口向上 B、函数的图象与x轴无交点 C、函数的最大值大于6 D、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，对应函数y的取值范围是 $3 \leq y \leq 6$

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7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为6米， $⊙ O$ 半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、1米 B、 $(4 - \sqrt{7})$ 米 C、2米 D、 $(4 + \sqrt{7})$ 米

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 52 °$ ，在平面内将 $△ A B C$ 绕点C旋转到 $△ A^{'} B^{'} C$ 位置，若 $A^{^{'}} B^{^{'}} ⊥ B C$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A、10° B、12° C、14° D、16°

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9. 如图，已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = B C$ ，以 $A B$ 为直径的圆交 $A C$ 于点D，过点D的 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 于点E，若 $C D = 4 \sqrt{5} ， C E = 8$ ，则 $⊙ O$ 的半径是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、5 C、6 D、 $\frac{15}{2}$

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10. 已知 $⊙ O$ 的直径 $C D = 10 cm$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $M$ ，且 $A B = 8 cm$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5} cm$ B、 $4 \sqrt{3} cm$ C、 $2 \sqrt{5} cm$ 或 $4 \sqrt{5} cm$ D、 $2 \sqrt{3} cm$ 或 $4 \sqrt{3} cm$

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二、填空题

11. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 $(0 ， - 5)$ ，那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）．

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12. 将方程 $x^{2} - m x + 8 = 0$ 用配方法化为 $（ x - 3)^{2} = n$ ，则 $m + n$ 的值是．

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13. ⊙O的半径为5cm，点O到直线AB的距离为d，当d＝时，AB与⊙O相切．

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14.
如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：．

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15. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FMO＝50°，则∠FOE的度数为．

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三、解答题

16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点P是 $A B$ 上一点，且点P是弦 $C D$ 的中点．

(1)、依题意画出弦 $C D$ ；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A P = 4$ ， $C D = 16$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18. $△$ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：

(1)、画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A₁B₁C₁ ．

(2)、将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A₂B₂C₂ ，则B₂的坐标为．

(3)、求△A₂B₂C₂面积．

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19. 已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．

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20. 如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．

(1)、求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，

(2)、判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

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21. 数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边 $△ A B C$ 中有一点P，且 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，试求 $∠ A P B$ 的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求 $∠ A P B$ 度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．

(1)、在图中画出 $△ A P C$ 绕点A顺时旋转60°后的 $△ A P_{1} B$ ，并判断 $△ A P_{1} P$ 的形状是；

(2)、试判断 $△ B P_{1} P$ 的形状，并说明理由；

(3)、由（1）、（2）两问可知： $∠ A P B =$ ．

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22. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

(1)、如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；

(2)、如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．

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23. 综合与探究
抛物线 $y = a x^{2} - a (a > 0)$ 与x轴交于 $A 、 B$ 两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知 $O C = 2 O A$ ．

(1)、求 $A 、 B$ 两点的坐标；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、在抛物线上是否存在一点P，使 $△ P A C$ 的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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x	…	$- 2$	0	1	3	…
y	…	$- 6$	4	6	4	…