山西省临汾市襄汾县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt[3]{27} = 3$ D、 $\sqrt{8} = 2 \sqrt{3}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别为线段 $B C 、 B A$ 的中点，设 $△ A B C$ 的面积为 $S_{1} ， △ E B D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ ＝（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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3. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $200 {(1 + x)}^{2} = 242$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 242$ C、 $200 (1 + 2 x) = 242$ D、 $200 (1 - 2 x) = 242$

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5. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 $B C = 6 m$ ， $∠ A B C = α$ ，则房顶A离地面 $E F$ 的高度为（）

A、 $(4 + 3 s i n α) m$ B、 $(4 + 3 t a n α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{s i n α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{t a n a}) m$

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6. 若关于x的一元二次方程x²+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）²＝2c，则c的值为（　　）

A、﹣3 B、0 C、3 D、9

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7. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，将ΔEFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E₁的坐标是（　　　）

A、（-2，1） B、（-8，4） C、（-8，4）或（8，-4） D、（-2，1）或（2，-1）

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8. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠到 $△ B E D$ 位置， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $c o s ∠ A D F$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{15}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

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9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 无实数解，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 4$ B、 $k < 4$ C、 $k < - 4$ D、 $k > 1$

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10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图， $P$ 为 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > P B$ ），如果 $A B$ 的长度为10 cm，那么 $P B$ 的长度为（）

A、 $(15 - 5 \sqrt{5})$ cm B、 $(15 + \sqrt{5})$ cm C、 $(10 - \sqrt{5})$ cm D、 $(5 + \sqrt{5})$ cm．

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二、填空题

11. 计算 $(\sqrt{19} + 1) (\sqrt{19} - 1)$ 的结果等于．

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12. 已知 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是位似图形，位似比是 $1 ： 3$ ，则 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积比．

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13. 已知 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - \sqrt{3}$ ，则 ${(x + y)}^{2022} {(x - y)}^{2023}$ 的值为．

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14. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²﹣kx+3＝0的两根，且满足x₁+x₂﹣x₁x₂＝4，则k的值为．

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15. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则 $t a n α$ ＝．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $(\frac{1}{2})^{- 1} - \sqrt{9} + 3 t a n 3 0^{°} + | \sqrt{3} - 2 |$

(2)、 $(3 + 2 \sqrt{5})^{2} - (4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5}) - | 24 - 12 \sqrt{5} |$ ．

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17. 用适当的方法解一元二次方程．

(1)、 $(x - 5) = {(x - 5)}^{2}$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 2 x = 3$ ．

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18. 如图，在边长为 $1$ 个单位长度的小正方形网格中，
( 1 )画出 $△ A B C$ 向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
( 2 )以点B为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B C_{2}$ ，请在网格中画出 $△ A_{2} B C_{2}$ ；
( 3 )直接写出 $△ C C_{1} C_{2}$ 的面积，及 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的坐标．

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19. 用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．

(1)、若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；

(2)、矩形的面积是否可以为103平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．

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20. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A E ： E B = 2 ： 3$ ， $D E$ 交 $A C$ 于F．

(1)、求 $Δ A E F$ 与 $Δ C D F$ 周长之比；

(2)、如果 $Δ C D F$ 的面积为25 $c m^{2}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度.小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为 $45 °$ ，看这栋楼底部的俯角为 $37 °$ ，已知两楼之间的水平距离为 $30 m$ ，求这栋楼的高度.（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60 ， c o s 37 ° \approx 0.80 ， t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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22. 定义：关于x的一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ （其中a，b，c是常数，且 $a c \neq 0$ ）是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （其中a，b，c是常数，且 $a c \neq 0$ ）的“友好”方程．例如： $- 2 x^{2} - x + 1 = 0$ 是 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的“友好”方程．

(1)、【概念感知】 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的“友好”方程是；

(2)、【问题探究】若关于x的一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ （其中a，b，c是常数，且 $a c \neq 0$ ）的一个解为3，请判断 $\frac{1}{3}$ 是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．

(3)、【拓展提升】若关于x的一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ （其中a，b，c是常数，且 $a c \neq 0$ ）的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq \pm 1 ， x_{2} \neq \pm 1)$ ，且 $x_{1} ， x_{2}$ 也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．

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23.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别为 $A B ， A C ， B C$ 上的点， $D E ∥ B C ， B F = C F ， A F$ 交 $D E$ 于点G，求证： $D G = E G$ ．

(2)、如图2，在（1）的条件下，连接 $C D ， C G$ ．若 $C G ⊥ D E ， C D = 6 ， A E = 3$ ，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、如图3，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D C = 45 ° ， A C$ 与 $B D$ 交于点O，E为 $A O$ 上一点， $E G ∥ B D$ 交 $A D$ 于点G， $E F ⊥ E G$ 交 $B C$ 于点F．若 $∠ E G F = 40 ° ， F G$ 平分 $∠ E F C ， F G = 10$ ，求 $B F$ 的长．

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