吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）

A、 $x - 1 = 0$ B、 $x^{2} + 3 = 0$ C、 $x - a \frac{2}{x} = 1$ D、 $y = 2 x$

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2. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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3. 若 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、3

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4. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} \times \sqrt{3^{2}} = - 3$

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 4 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 2$ B、 $(x - 2)^{2} = 4$ C、 $(x - 2)^{2} = 6$ D、 $(x - 2)^{2} = 8$

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6. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A F$ 与 $B E$ 相交于点G．若 $A G = 2 ， G D = 1 ， D F = 5 ， B C = 4$ 则 $B E$ 的长为（　　）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、12 D、20

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7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $D E ： A D = 1 ： 3$ ，连结EF交DC于点G，则 $S_{△ D E G} ： S_{Δ C F G}$ ＝（）

A、2：3 B、3：2 C、9：4 D、4：9

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8. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 $200 m^{2}$ 的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长 $35 m$ ，另外三面用 $49 m$ 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 $1 m$ 宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边 $A B$ 的长为 $x m$ ，则下列所列方程正确的是（）

A、 $x (49 + 1 - x) = 200$ B、 $x (49 - 2 x) = 200$ C、 $x (49 + 1 - 2 x) = 200$ D、 $x (49 - 1 - 2 x) = 200$

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二、填空题

9. $\sqrt{{(- 10)}^{2}} =$ ．

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10. 若 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 3 - x$ ，则x的取值范围是．

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11. 一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 根的判别式的值是．

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12. 若x=1是关于x的一元二次方程x²+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．

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13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 $A B$ ，从木杆的顶端B观察井水水岸D ，视线 $B D$ 与井口的直径 $A C$ 交于点E ，如果测得 $A B = 1$ 米， $A C = 1.6$ 米， $A E = 0.4$ 米，那么 $C D$ 为米．

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14. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， D为边 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，过点B作 $B E ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点E．若 $\frac{C D}{B D} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{B E}{A D}$ 的值为．

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三、解答题

15. 计算： $2 \sqrt{3} + \sqrt{27} - 3 \sqrt{12}$ ．

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16. 解方程：x²+5x+3=0．

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17. 如图①、图②均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个 $△ A B P$ ，使得 $△ A B P$ 与 $△ A B C$ 相似，且点P在格点上．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ ．

(1)、若方程的一个根为2，求m的值．

(2)、求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．

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19. 实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简 $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} + \sqrt{{(a - b)}^{2}}$ ．

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20. 如图， $△ A D E ∽ △ A B C$ ，且 $\frac{A C}{A B} = \frac{2}{3}$ ，点D在 $△ A B C$ 内部，连接 $B D 、 C D 、 C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ ．

(2)、若 $C D = C E ， B D = 3$ ，且 $∠ A B D + ∠ A C D = 90 °$ ，求 $D E$ 的长．

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21. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．

(1)、求BC的长．

(2)、求灯泡到地面的高度AG．

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22. 探究：如图①，直线l₁∥l₂∥l₃ ，点C在l₂上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l₁与l₃于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l₁于点D，延长DC交l₃于点E．

(1)、求证：△ACD∽△CBE．

(2)、应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l₂的交点为F，若AC＝BC，l₁与l₂之间的距离为2，l₂与l₃之间的距离为1，则AF的长度是　　．

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23. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．

(1)、当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出个水杯，月销售利润是元．

(2)、若每个水杯售价上涨x元 $(x > 0)$ ，每月能售出个水杯（用含x的代数式表示）．

(3)、若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．

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24. 如图，已知直线 $y = - \frac{4}{3} x + 8$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿 $B A$ 方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿 $A O$ 方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、用含有t的代数式表示C点的坐标；

(3)、直接写出t为何值时， $△ A C D$ 面积为 $\frac{84}{5}$ ；

(4)、直接写出 $△ A C D$ 与 $△ A O B$ 相似时t的值．

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