北京市通州区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$

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2. 下列点坐标，是二次函数 $y ＝ 2 {(x - 1)}^{2} - 4$ 图象的顶点坐标的是（　　）

A、（2，4） B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(1 ， - 4)$ ）

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3. 下列判断正确的是（）

A、任意两个平行四边形一定相似 B、任意两个矩形一定相似 C、任意两个菱形一定相似 D、任意两个正方形一定相似

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4. 如图，在 $△ A B C$ ， $∠ B = 60 ° ， A B = 6 ， B C = 8$ ．将 $△ A B C$ 沿图中的 $D E$ 剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 把二次函数 $y = x^{2}$ 的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（　　）

A、 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 1$ C、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 1$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$

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6. 已知点 $(1 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2}) ， (- 3 ， y_{3})$ 都在函数 $y = - 2 x^{2}$ 的图像上，则下列结论正确的是（　　）

A、 $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$ B、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ C、 $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$ D、 $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$

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7. 如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD高度是（）

A、9m B、10.m C、12m D、16m

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E是 $A D$ 边上的点，线段 $B E$ 与 $A C$ 交于点F，如果 $A E ： A D ＝ 1 ： 3 ， A F ＝ 3$ ，那么 $A C$ 的长是（　　）

A、3 B、6 C、9 D、12

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9. 一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（）

A、 $P \to A \to Q$ B、 $P \to B \to Q$ C、 $P \to C \to Q$ D、 $P \to D \to Q$

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $A C$ 上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明 $△ A B C$ 和 $△ B D C$ 相似，这个条件可以是（写出一个即可）．

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12. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，直线l₄ ， l₅被直线l₁、l₂、l₃所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是．

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13. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ 的图象与x轴有一个公共点，则k=

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14. 已知二次函数 $y ＝ x^{2} - 4 x + 7$ ，将这个二次函数表达式用配方法化成 $y ＝ {(x - h)}^{2} + k$ 的形式．

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15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是cm．

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16. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D$ 是斜边 $A B$ 上的高．如果 $A D = 3 ， B D = 2$ ，那么 $C D$ 的长为．

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18. 若函数y＝(a－1)x²－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．

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三、解答题

19. 已知 $A (0 ， 3) ， B (2 ， 3)$ 是二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 图象上两点，求二次函数的表达式．

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20. 如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．

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21. 如图，是小凯为估算鱼塘的宽AB设计的，在陆地上取点 $C ， D ， E$ ，使得 $A ， C ， D$ 在同一条直线上， $B ， C ， E$ 在同一条直线上，测得 $C D = \frac{1}{2} A C ， C E = \frac{1}{2} B C$ ．小凯测得 $D E$ 的长为10米，求鱼塘的宽 $A B$ 的长是多少米？

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22. 已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（）（填推理的依据）
∴ $E H ∥ B G$ ，即 $E C ∥ B G$ ．
∴AC∶_▲_=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=_▲_AG．
∴ $A C = \frac{1}{3} A B = C D$ ．
∴ $D B = \frac{1}{3} A B$ ．
∴AC=CD=DB．

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23. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
-3
-2
-1
0
1
……
y
……
0
3
4
3
0
……

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(3)、当-2≤x＜2时，直接写出y的取值范围．

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24. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、求∠ADE的度数．

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25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线y＝-2x-2上．

(1)、求抛物线的顶点坐标；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．

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26. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．

(1)、在图中画出铅球运动路径的示意图；

(2)、根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

(3)、若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离 $O C$ 的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．

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27. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，过点A的射线与斜边 $B C$ 交于点D，且满足 $D C = 2 B D$ ， $C E ⊥ A D$ 于点E，求证： $∠ B E C = ∠ A E B$ ．

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28. 给出如下规定：两个图形 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ ，点P为 $G_{1}$ 上任一点，点Q为 $G_{2}$ 上任一点，如果线段 $P Q$ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 之间的距离．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点．

(1)、点A的坐标为 $A (1 ， 0)$ ，则点 $B (2 ， 3)$ 和射线 $O A$ 之间的距离为，点 $C (- 3 ， 4)$ 和射线 $O A$ 之间的距离为．

(2)、点E的坐标为 $(1 ， 1)$ ，将射线 $O E$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ ，得到射线 $O F$ ，在坐标平面内所有和射线 $O E ， O F$ 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①在坐标系中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将抛物线 $y ＝ x^{2} - 2$ 与图形M的公共部分记为图形N，射线 $O E$ ， $O F$ 组成的图形记为图形W，请直接写出图形W和图形N之间的距离．

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x	……	-3	-2	-1	0	1	……
y	……	0	3	4	3	0	……