吉林省白城市大安市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 若抛物线 $y = a x^{2}$ 与 $y = - x^{2} + 3 x - 1$ 的形状相同，则a的值为(　　)

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、 $1$ D、 $\pm 3$

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3. 下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A、 $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ B、 $2 x^{2} + 1 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ D、 $x^{2} - 5 = 0$

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4. 如图，将 $△ A O B$ 绕着点O顺时针旋转，得到 $△ C O D$ （点C落在 $△ A O B$ 外），若 $∠ A O B = 30 °$ ， $∠ B O C = 10 °$ ，则最小旋转角度是（）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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5. 如图，C、D是 $⊙ O$ 上直径 $A B$ 两侧的点，若 $∠ D = 75 °$ ，则 $∠ A B C$ 等于（　　）

A、 $35 °$ B、 $25 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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6. 如图，已如抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向上，与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x$ $= 1$ .下列结论错误的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b^{2} > 4 a c$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、 $2 a + b = 0$

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二、填空题

7. 在平面直角坐标系中，若点 $A (3 ， 2)$ 与点 $B (m ， - 2)$ 关于原点对称，则m的值是．

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8. 抛物线 $y = - 3 {(x + 8)}^{2}$ 的顶点坐标是．

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9. 如图所示，这个图案绕精它的中心旋转α（ $0 ° < α < 360 °$ ）后能够与它本身重合，则α可以为（写出一个即可）．

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10. 已知点 $(- 4 ， y_{1})$ 、 $(- 1 ， y_{2})$ 、 $(\frac{5}{3} ， y_{3})$ 都在函数 $y = - x^{2} + 5$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（用“ $>$ ”连接）．

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11. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，连接CD，经测量 $A B = 8$ cm， $C D = 2$ cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为cm．

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12. 如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（-4，-3），则点A′的坐标为．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ C B E$ 是它的一个外角，若 $∠ C B E = 58 °$ ，则 $∠ A O C =$ 度．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作 $C D ∥ x$ 轴，交抛物线于另一点D，若 $A B + C D = 3$ ，则c的值为．

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三、解答题

15. 解方程： $x^{2} - 3 x - 3 = 0$ ．

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16. 在平面直角坐标系中，求抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 与x轴的交点坐标．

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17. 某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约423.5万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．

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18. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $40 °$ 得到 $△ A E D$ ．使点B的对应点E落在边 $B C$ 上，求 $∠ A E C$ 的度数．

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19. 图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
( 1 )在图1中，画出将 $△ A B C$ 绕点D顺时针旋转90°得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1} ．$
( 2 )在图2中，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2} ，$ 使 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 关于点D成中心对称；
( 3 )在图3中，以AB为一边画出一个 $▭ A B E F$ 、使 $▭ A B E F$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的4倍．

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20. 如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为 $20 m$ ，此时拱桥的最高点到水面的距离为 $4 m$ ．

(1)、把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；

(2)、当水面宽 $10 m$ 时，达到警戒水位，如果水位以 $0.2 m / h$ 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？

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21. 如图，在 $⊙ O$ 中，B、C是 $\overset{⌢}{A D}$ 的三等分点，弦 $A C 、 B D$ 相交于点E．

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、连接 $A B$ ，若 $∠ B A C ＝ 25 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1}$ ： $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(- 3 ， 0)$ 、 $(3 ， 3)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 的顶点为D，求 $△ O D C$ 的面积．

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23. 如图，用 $40 m$ 的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长 $15 m$ ．垂直于墙的边长为 $x m$ ．围成的矩形场地的面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、求这个矩形场地面积的最大值．

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24.

(1)、[猜想]如图1，在 $⊙ O$ 中，点C在优弧 $A C B$ 上，连接 $A O ， B O$ ，得到圆心角 $∠ A O B$ ，发现， $∠ A C B$ 与 $∠ A O B$ 对着同一条弧 $A B$ ，则 $∠ A O B = 2 ∠ A C B$ ；
[特例探究]为证明图1中的结论，我们不妨使点O在 $∠ A C B$ 的边 $A C$ 上，如图2．若 $B C = O C$ ，则 $∠ A O B =$ 度；

(2)、[证明结论]请结合图2的特例探究，用图1证明[猜想]中的结论；

(3)、结论应用]在图1中，若 $∠ C = 65 °$ ，点P在 $⊙ O$ 上，且 $Δ B A P$ 是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数．

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25. [操作]如图1． $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， D是其内部的一点，连接 $C D$ ．将 $C D$ 绕点（顺时针旋转90°得到 $C E$ ，连接 $D E$ ，作直线 $A D$ 交 $B E$ 于点F．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ B E C$ ；

(2)、求 $∠ A F E$ 的度数；

(3)、[探究]如图2，连接图1中的 $A E$ ，分别取 $A B 、 D E 、 A E$ 的中点M、N、P，作 $△ M N P$ ．若 $B E = 8$ ，则 $△ M N P$ 的周长为

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26. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， - 3)$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上，其对称轴是直线 $x = 2$ ．点P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为m， $m + 3$ ，设该抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的图象记为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点P的纵坐标为2时，求点Q的坐标；

(3)、当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，①求h与m之间的函数关系式；②当 $h = 5$ 时，直接写出m的值．

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