浙江省宁波市鄞州区七校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。）

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为5，若 $P O = 4$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 D、无法判断

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、掷一枚硬币，正面朝下 B、三角形两边之和大于第三边 C、一个三角形三个内角的和小于180° D、在一个没有红球的盒子里，摸到红球

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3. 由二次函数 $y = - 3 (x + 2)^{2} - 1$ ，可知（）

A、其图象的对称轴为直线 $x = 2$ B、其最大值为1 C、当 $x \leq - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、其图象与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， - 1)$

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4. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，用配方法化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，结果是（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 2$ B、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ D、 $y = - {(x + 1)}^{2} - 4$

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5. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连结 $A D$ ， $A G$ ， $C D$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $C E = D E$ B、 $∠ A D G = ∠ G A B$ C、 $∠ A G D = ∠ A D C$ D、 $∠ G D C = ∠ B A D$

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6. 下列说法正确的是（）

A、半圆是弧，弧也是半圆 B、三点确定一个圆 C、平分弦的直径垂直于弦 D、直径是同一圆中最长的弦

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7. 如图，⊙O的半径为10，若OP=8，则经过点P的弦长可能是（）

A、10 B、6 C、19 D、22

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8. $A (- 2 ， y_{1})$ 、 $B (1 ， y_{2})$ 、 $C (2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - 2 (x + 1)^{2} + k$ 上三点， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y$ ₁ $^{>} y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：
$① 4 a c < b^{2}$ ； $②$ 方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ； $③ 3 a + c > 0$ ；
$④$ 当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $- 1 \leq x < 3$ ； $⑤$ 当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.
其中结论正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 是半圆上两点，连结 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $P$ ，连结 $A D$ ， $O C .$ 已知 $O C ⊥ B D$ 于点 $E$ ， $A B = 2 .$ 下列结论：
$① ∠ C A D + ∠ O B C = 90 °$ ； $②$ 若点 $P$ 为 $A C$ 的中点，则 $C E = 2 O E$ . $③$ 若 $A C = B D$ ，则 $C E = O E$ ； $④ B C^{2} + B D^{2} = 4$ ；其中正确的是（）

A、 $① ② ③$ B、 $② ③ ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 从 $1 ～ 9$ 这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是.

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12.
如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=54°，则∠BCD= ．

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13. 五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为 $⊙ O$ ，半径是 $10 c m$ ，有水部分弓形的高为 $5 c m$ ，则 $A B =$ $c m$ .

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14. 把抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为.

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15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 $y ($ 单位： $m)$ 与滑行时间 $x ($ 单位： $s)$ 之间的函数关系式是 $y = 60 x - 1.5 x^{2}$ ，该型号飞机着陆后滑行 $m$ 才能停下来.

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线 $y = \frac{3}{4} x - 6$ 与x轴、y轴分别交于点D、E，则 $△ C D E$ 面积的最小值为.

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三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。）

17. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“温”“外”“数”“学”的4个小球，除汉字不同之外，小球材质、大小、形状全部相同，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

(1)、求从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“温”的概率是；

(2)、从袋中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“数学”的概率.

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18. 如图，在 $10 \times 10$ 的正方形网格中 $($ 每个小正方形的边长都为1个单位 $)$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.建立如图所示的直角坐标系，
⑴请在图中标出 $△ A B C$ 的外接圆的圆心 $P$ 的位置；并填写：圆心 $P$ 的坐标： $P ($ ▲ ， ▲ ）
⑵将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A D E$ ，请画出 $△ A D E$ ，并保留作图痕迹.

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19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为 $(1 ， - 4)$ ，且经过点 $C (0 ， - 3)$ .

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求图象与 $x$ 轴交点 $A$ 、 $B$ 两点的坐标 $(A$ 在点 $B$ 的左边 $)$ 及 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．

(1)、当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE= $\frac{1}{2} ∠ B A C$

(2)、当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．

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21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 $A$ 的正南方向 $220 k m$ 的 $B$ 处有一台风中心，该台风中心现在正以 $15 k m / h$ 的速度沿北偏东 $30 °$ 方向移动，若在距离台风中心 $130 k m$ 范围内都要受到影响. $($ 结果精确到 $0.01) (\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{5} \approx 2.236)$

(1)、该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由.

(2)、若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

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22. 某超市经销一种销售成本为每件60元的商品，据市场调查发现，如果按每件70元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售就减少10件，设销售价为每件 $x$ 元 $(x \geq 70)$ ，一周的销售量为 $y$ 件.

(1)、当销售价为每件80元时，一周能销售多少件；答：件；

(2)、写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(3)、设一周的销售利润为 $w$ ，当销售价定为多少元时，周销售利润 $W$ 达到了最大值，最大值是多少元？

(4)、在超市对该种商品投入不超过18000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？

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23. 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

(1)、矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；

(2)、如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；

(3)、如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

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24. 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．

(1)、如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式； ②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

(2)、如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

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