2022~2023学年中考数学一轮复习专题10探索规律题

试卷更新日期：2022-11-30 类型：一轮复习

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一、数与式规律

1. 按一定规律排列的一组数据： $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{7}{17}$ ， $\frac{9}{26}$ ， $- \frac{11}{37}$ ， …．则按此规律排列的第10个数是（）

A、 $- \frac{19}{101}$ B、 $\frac{21}{101}$ C、 $- \frac{19}{82}$ D、 $\frac{21}{82}$

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2. 根据图中数字的规律，若第 $n$ 个图中的 $q = 143$ ，则 $p$ 的值为（）

A、100 B、121 C、144 D、169

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3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

A、2025 B、2023 C、2021 D、2019

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4. 根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则 $n =$ （）

A、17 B、18 C、19 D、20

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5. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 $x$ ， $y$ 的系数与相应的常数项，即可表示方程 $x + 4 y = 23$ ，则表示的方程是.

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6. 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、0

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7. 设 $\bar{a 5}$ 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， $\bar{a 5}$ 表示的两位数是45．

(1)、尝试：
①当a＝1时，15²＝225＝1×2×100＋25；

②当a＝2时，25²＝625＝2×3×100＋25；

③当a＝3时，35²＝1225＝；

……

(2)、归纳： ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．

(3)、运用：若 ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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8. 观察下列等式：
$2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = 2^{6} - 2$ ；

$\dots$

已知按一定规律排列的一组数： $2^{20}$ ， $2^{21}$ ， $2^{22}$ ， $2^{23}$ ， $2^{24}$ ， $\dots$ ， $2^{38}$ ， $2^{39}$ ， $2^{40}$ ，若 $2^{20} = m$ ，则 $2^{20} + 2^{21} + 2^{22} + 2^{23} + 2^{24} + \dots + 2^{38} + 2^{39} + 2^{40} =$ （结果用含 $m$ 的代数式表示）.

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9. 观察以下等式：
第1个等式： $\frac{1}{3} \times (1 + \frac{2}{1}) = 2 - \frac{1}{1}$

第 $2$ 个等式： $\frac{3}{4} \times (1 + \frac{2}{2}) = 2 - \frac{1}{2}$

第3个等式： $\frac{5}{5} \times (1 + \frac{2}{3}) = 2 - \frac{1}{3}$

第 $4$ 个等式： $\frac{7}{6} \times (1 + \frac{2}{4}) = 2 - \frac{1}{4}$

第5个等式： $\frac{9}{7} \times (1 + \frac{2}{5}) = 2 - \frac{1}{5}$

······

按照以上规律．解决下列问题：

(1)、写出第6个等式；

(2)、写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．

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10. 观察以下等式：
第1个等式： ${(2 \times 1 + 1)}^{2} = {(2 \times 2 + 1)}^{2} - {(2 \times 2)}^{2}$ ，
第2个等式： ${(2 \times 2 + 1)}^{2} = {(3 \times 4 + 1)}^{2} - {(3 \times 4)}^{2}$ ，
第3个等式： ${(2 \times 3 + 1)}^{2} = {(4 \times 6 + 1)}^{2} - {(4 \times 6)}^{2}$ ，
第4个等式： ${(2 \times 4 + 1)}^{2} = {(5 \times 8 + 1)}^{2} - {(5 \times 8)}^{2}$ ，
……
按照以上规律．解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

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11. 观察下面的等式： $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ， $\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}$ ，……

(1)、按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)．

(2)、请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的。

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12. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ .

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二、图形规律

13. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形 $O A B C D E$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $n$ 个 $45 °$ ，得到正六边形 $O A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} E_{n}$ ，当 $n = 2022$ 时，正六边形 $O A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} E_{n}$ 的顶点 $D_{n}$ 的坐标是（）

A、 $(- \sqrt{3} ， - 3)$ B、 $(- 3 ， - \sqrt{3})$ C、 $(3 ， - \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3} ， 3)$

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14. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）

A、297 B、301 C、303 D、400

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15. 如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A、（2 $\sqrt{2}$ ）⁵ B、（2 $\sqrt{2}$ ）⁶ C、（ $\sqrt{2}$ ）⁵ D、（ $\sqrt{2}$ ）⁶

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16. 如图，线段 $A B = 2$ ，以AB为直径画半圆，圆心为 $A_{1}$ ，以 $A A_{1}$ 为直径画半圆①；取 $A_{1} B$ 的中点 $A_{2}$ ，以 $A_{1} A_{2}$ 为直径画半圆②；取 $A_{2} B$ 的中点 $A_{3}$ ，以 $A_{2} A_{3}$ 为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为．

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17. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（）

A、（ $- \frac{3}{2}$ ， $- \sqrt{3}$ ） B、（ $\frac{3}{2}$ ， $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ） C、（ $- \sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ） D、（ $- \frac{3}{2}$ ， $- \frac{3}{2}$ ）

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18. 如图， $△ O A_{1} A_{2}$ 为等腰直角三角形，OA₁＝1，以斜边OA₂为直角边作等腰直角三角形OA₂A₃ ，再以OA₃为直角边作等腰直角三角形OA₃A₄ ， …，按此规律作下去，则OA_n的长度为（）

A、（ $\sqrt{2}$ ）ⁿ B、（ $\sqrt{2}$ ）ⁿ^﹣¹ C、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）ⁿ D、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）ⁿ^﹣¹

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19. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）．
…

A、150 B、200 C、355 D、505

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20. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）

A、148 B、152 C、174 D、202

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $A_{1} (2 ， 0)$ ， $B_{1} (0 ， 1)$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点为 $C_{1}$ ； $A_{2} (0 ， 3)$ ， $B_{2} (- 2 ， 0)$ ， $A_{2} B_{2}$ 的中点为 $C_{2}$ ； $A_{3} (- 4 ， 0)$ ， $B_{3} (0 ， - 3)$ ， $A_{3} B_{3}$ 的中点为 $C_{3}$ ； $A_{4} (0 ， - 5)$ ， $B_{4} (4 ， 0)$ ， $A_{4} B_{4}$ 的中点为 $C_{4}$ ；…；按此做法进行下去，则点 $C_{2022}$ 的坐标为．

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22. 古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物.用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是 $1 + 2 = 3$ ，第三个三角形数是 $1 + 2 + 3 = 6$ ，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是 $1 + 3 = 4$ ，第三个正方形数是 $1 + 3 + 5 = 9$ ，……由此类推，图④中第五个正六边形数是.

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23. 在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.
用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

(1)、填写上图中第四个图中y的值为，第五个图中y的值为.

(2)、通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为，当x＝48时，对应的y＝.

(3)、若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

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24. 观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为．

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三、与函数相关规律

25. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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26. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ …， $△ A_{n - 1} A_{n} B_{n}$ 都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…， $A_{n}$ 都在x轴上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，…， $B_{n}$ 都在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，则点 $B_{n}$ 的坐标为．（用含有正整数n的式子表示）

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27. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，在 $O M$ 上截取 $O A_{1} = \sqrt{3}$ .过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{1}$ ，以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{2}$ ，以点 $B_{2}$ 为圆心， $B_{2} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{3}$ ；按此规律，所得线段 $A_{20} B_{20}$ 的长等于.

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28. 如图，在第一象限内的直线 $l ： y = \sqrt{3} x$ 上取点 $A_{1}$ ，使 $O A_{1} = 1$ ，以 $O A_{1}$ 为边作等边 $△ O A_{1} B_{1}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_{2}$ ，以 $O A_{2}$ 为边作等边 $△ O A_{2} B_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ；过点 $B_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_{3}$ ，以 $O A_{3}$ 为边作等边 $△ O A_{3} B_{3}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{3}$ ；……，依次类推，则点 $A_{2022}$ 的横坐标为．

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29. 在直角坐标系中，点A₁从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A₂（1，0），A₃（1，1），A₄（﹣1，1），A₅（﹣1，﹣1），A₆（2，﹣1），A₇（2，2），…．若到达终点A_n（506，﹣505），则n的值为．

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30. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点 $A_{1} (1 ， 1)$ ；把点 $A_{1}$ 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点 $A_{2} (- 1 ， 3)$ ；把点 $A_{2}$ 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 $A_{3} (- 4 ， 0)$ ；把点 $A_{3}$ 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 $A_{4} (0 ， - 4)$ ；…；按此做法进行下去，则点 $A_{10}$ 的坐标为.

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四、幻方与杨辉三角问题

31. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则 $m$ 的值为．

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32. 如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列.

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33. 下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是．

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