高中数学人教A版（2019）必修一第五章第七节三角函数的应用

试卷更新日期：2022-11-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，摩天轮上一点 $P$ 在 $t$ 时刻距离地面的高度满足 $y = A s i n (ω t + φ) + B$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $φ \in [- π ， π]$ ，已知某摩天轮的半径为50米，点 $O$ 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点 $P$ 的起始位置在摩天轮的最低点，则 $y$ （米）关于 $t$ （分钟）的解析式为（）

A、 $y = 60 - 50 s i n \frac{π}{5} t$ （ $t > 0$ ） B、 $y = 60 - 50 c o s \frac{π}{5} t$ （ $t > 0$ ） C、 $y = 60 - 50 c o s \frac{π}{10} t$ （ $t > 0$ ） D、 $y = 60 - 50 s i n \frac{π}{10} t$ （ $t > 0$ ）

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2. 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬 $23 ° 2 6^{'}$ ）在某地利用一表高为 $2 d m$ 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为 $2.98 d m$ ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据： $t a n 34 ° \approx 0.67$ ， $t a n 56 ° \approx 1.49$ ）

A、 $23 ° 2 6^{'}$ B、 $32 ° 3 4^{'}$ C、 $34 °$ D、 $56 °$

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3. 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）

A、 $y = 3 \sin \frac{π}{6} t + 12$ B、 $y = - 3 \sin \frac{π}{6} t + 12$ C、 $y = 3 \sin \frac{π}{12} t + 12$ D、 $y = 3 \cos \frac{π}{12} t + 12$

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4.
一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P_o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）

A、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 10$ B、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 10$ C、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 8$ D、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 8$

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5.
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为 $P_{0} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，秒针从P₀（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

A、 $y = \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (- \frac{π}{60} t - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t - \frac{π}{6})$

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二、解答题

6. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在 $t$ （单位： $s$ ）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 $h$ （单位： $c m$ ）由关系式 $h = A s i n (ω t + \frac{π}{4})$ 确定，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ ．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为 $1 s$ ．且最高点与最低点间的距离为 $10 c m$ ．

(1)、求小球相对平衡位置的高度 $h$ （单位： $c m$ ）和时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的函数关系；

(2)、小球在 $t_{0} s$ 内经过最高点的次数恰为50次，求 $t_{0}$ 的取值范围．

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7. 2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，令P点纵坐标为 $y_{1}$ ，水面纵坐标为 $y_{2}$ ， P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据： $c o s \frac{π}{15} \approx 0.98$ ， $c o s \frac{2 π}{15} \approx 0.91$ ， $c o s \frac{π}{5} \approx 0.81$ ）

(1)、求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于x的函数关系式；

(2)、求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．

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8. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.

(1)、求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；

(2)、在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值.

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9. 如图，一个轴心为 $O$ 的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ (单位： $m$ )(在水面下则 $d$ 为负数)，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $d$ 与时间 $t$ (单位： $s$ )之间的关系为 $d (t) = 4 s i n (ω t + φ) + 2 \sqrt{3} (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，求

(1)、筒车转了 $15 s$ 时，盛水筒 $P$ 到水面的距离；

(2)、盛水筒 $P$ 入水后至少经过多少时间出水？

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10. 如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．

(1)、游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t m i n$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)、在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出 $h \geq 25$ 时t的取值范围．

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11. 一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

(2)、在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

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12. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 $π$ 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A ， ω ， φ ， K$ 的值；

(2)、求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

(3)、某时刻 $t_{0}$ (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 $\frac{π}{6}$ 分钟后，盛水筒W是否在水中？

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13. 如图，某公园摩天轮的半径为40 $m$ ，圆心O距地面的高度为50 $m$ ，摩天轮做匀速转动，每3 $min$ 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

(1)、已知在 $t (\min)$ 时点P距离地面的高度为 $f (t) = A \sin (ω t + φ) + h (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，求 $t = 2020$ 时，点P距离地面的高度；

(2)、当离地面 $(50 + 20 \sqrt{3}) m$ 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.

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14. 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边 $A B$ 为半圆的直径，O为半圆的圆心， $A B = 2 A D = 200 m$ ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域 $P M N$ （底边 $M N ⊥ C D$ ）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设 $∠ M O B = θ ， θ \in (0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求 $M N$ 的长；

(2)、求三角形区域 $P M N$ 面积的最大值.

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15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为 $4 m$ ，圆心O距离水面 $2 m$ ，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求 $t = 13$ 时，点P到水面的距离；

(2)、在点P从 $P_{0}$ 开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于 $4 m$ 的时间有多长？

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16. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：

时刻	2：00	5：00	8：00	11：00	14：00	17：00	20：00	23：00
水深/米	7.0	5.0	3.0	5.0	7.0	5.0	3.0	5.0

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 $f (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 来描述.

(1)、根据以上数据，求出函数

f (t) = A \sin (ω t + φ) + B

的表达式；

(2)、一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？

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17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为 $y = A \sin (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $b$ 的值；

(2)、盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；

(3)、在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.

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18. 如图，摩天轮的半径为 $40 m$ ， $O$ 点距地面的高度为 $50 m$ ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 $2 \min$ 转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点.

（Ⅰ）试确定点 $P$ 距离地面的高度 $h$ （单位： $m$ ）关于转动时间（单位： $\min$ ）的函数关系式；

（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 $P$ 距离地面超过 $70 m$ ？

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19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)、经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0，ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；

(2)、问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？

(3)、若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.

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20. 如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P₀）开始计算时间．

(1)、将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；

(2)、求点P第一次到达最高点需要的时间．

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高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第七节 三角函数的应用

一、单选题

二、解答题

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