2023年春季北师版数学九年级下册总复习检测B

试卷更新日期：2022-11-26 类型：期末考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = 2 (x + 9)^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(9 ， - 3)$ B、 $(- 9 ， - 3)$ C、 $(9 ， 3)$ D、 $(- 9 ， 3)$

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2. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，CD是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、70° B、60° C、50° D、40°

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3. 将抛物线y=x²向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A、y=x²+3 B、y=x²-3 C、y=(x+3)² D、y=(x-3)²

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4. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 $α$ ，则高BC是（）

A、 $12 \sin α$ 米 B、 $12 \cos α$ 米 C、 $\frac{12}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{12}{\cos α}$ 米

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5. 如图，PA，PB是 $⊙ O$ 的切线，A、B为切点，若 $∠ A O B = 128 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $52 °$ C、 $64 °$ D、 $72 °$

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6. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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7. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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8. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，将 $△ A O B$ 绕 $O$ 点逆时针旋转到如图 $△ A^{'} O B^{'}$ 的位置， $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好落在直线 $A B$ 上，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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9. 如图．将扇形 $A O B$ 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点C，连接 $A C$ ．若 $O A = 2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，且过点 $(0 ， 1)$ ．有以下四个结论：① $a b c > 0$ ， ② $a - b + c > 1$ ， ③ $3 a + c < 0$ ， ④若顶点坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，当 $m \leq x \leq 1$ 时，y有最大值为2、最小值为 $- 2$ ，此时m的取值范围是 $- 3 \leq m \leq - 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ $\frac{4}{5}$ ，则cosB＝．

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12. 一艘轮船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔30海里的 $A$ 处，它沿北偏东 $30 °$ 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $67 °$ 方向上的 $B$ 处，此时与灯塔 $P$ 的距离约为海里．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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13. 如图，在⊙O内接四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A B C = 100 °$ ，则 $∠ A D C =$ $°$ .

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14. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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15. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧 $\overset{⌢}{D E}$ 的长是（结果保留 $π$ ）

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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三、解答题（共0题，共72分）

17. 计算：2sin60°﹣| $\sqrt{3}$ ﹣2|+（π﹣ $\sqrt{10}$ ）⁰﹣ $\sqrt{12}$ +（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^﹣².

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18. 计算：tan30°+|1﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |+（π﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）⁰﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^﹣¹+ $\sqrt{16}$ .

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19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为 $20 m$ 的斜坡，坡角 $∠ B A D = 30 ° ， B D ⊥ A D$ 于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 $15 °$ .

(1)、求该斜坡的高度BD；

(2)、求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）

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20. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 °$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $A E = 3$ m， $E F = 8$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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21. 如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．

(1)、判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；

(2)、若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

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22. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵ $s i n A = \frac{a}{c}$ ， $s i n B = \frac{b}{c}$

∴ $c = \frac{a}{s i n A}$ ， $c = \frac{b}{s i n B}$

∴ $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$

(1)、拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究 $\frac{a}{s i n A}$ ， $\frac{b}{s i n B}$ ， $\frac{c}{s i n C}$ 之间的关系，并写出探究过程．

(2)、解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

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23. 如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + m x + 1$ 的图象与y轴相交于点A，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点B(3，1).

(1)、求这两个函数的表达式；

(2)、当 $y_{1}$ 随x的增大而增大且 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、平行于x轴的直线l与函数 $y_{1}$ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数 $y_{2}$ 的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是劣弧 $B D$ 上一点， $∠ P A D = ∠ A E D$ ，且 $D E = \sqrt{2}$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ D A E = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $E F$ 的长；

(3)、延长 $D E$ ， $A B$ 交于点 $C$ ，若 $O B = B C$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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25. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.
图1 图2

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

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