浙教版备考2023年中考数学一轮复习21.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 若方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 有两个相等的实数解，则下列方程中无实数解的是（）

A、 $x^{2} + m x + n = 3$ B、 $x^{2} + m x + n = 2$ C、 $x^{2} + m x + n = 1$ D、 $x^{2} + m x + n = - 1$

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 的两实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $({x_{1}}^{2} + 2) ({x_{2}}^{2} + 2)$ 的值是（）

A、8 B、32 C、8或32 D、16或40

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $a^{2} + 5 a + 2 b$ 的值是（）

A、-5 B、-4 C、1 D、0

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4. 已知实数a、b满足 $a^{2} = 2 - 2 a ， b^{2} = 2 - 2 b$ ，且 $a \neq b$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、 $- 2$

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5. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k > 1$ C、 $k \neq 1$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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6. 已知关于x的一元二次方程x²+mx+3=0有两个实数根x₁=1，x₂=n，则代数式（m+n）²⁰²²的值为（）

A、1 B、0 C、 $3^{2022}$ D、 $7^{2022}$

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7. 方程 $x^{2} + x = 5 x + 6$ 的两个实数根的和与积分别是（）

A、-5，6 B、-4，6 C、4，-6 D、-1，6

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8. 方程2x²+x-4=0的解的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、有一个实数根

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9. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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10. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字 $- 1 ， 1 ， 2$ ．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为 $p$ ，再随机摸出另一个小球，将其数字记为 $q$ ，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 有实数根的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 - 3 m) x + 6 = 0$ 的一个根为3，那么此方程的另一个根为．

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12. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} - 2 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是．

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13. 若一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，则 $m$ 的值是．

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14. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为．

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15. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 2 - c = 0$ 有两个相等的实数根， $\frac{1}{a} + c$ 则的值等于．

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16. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列说法：①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ．其中说法正确的有（填序号）．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求k的值．

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x - k = 0$ （ $k$ 为常数）．设 $α$ ， $β$ 为方程的两个实数根，且 $α + 2 β = 14$ ，试求出方程的两个实数根和 $k$ 的值．

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19. 已知方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ ．

(1)、判断此方程是否有实数根，有几个实数根？

(2)、设此方程的两实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{2}{3}$ ，求m的值．

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 2) x - \frac{m^{2}}{4} = 0$

(1)、求证：无论 $m$ 取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；

(2)、若这个方程的两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ 满足 $| x_{2} | - | x_{1} | = 2$ ，求 $m$ 的值及相应的 $x_{1} 、 x_{2}$ ．

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21. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1 ， 2} = \pm 2$ ， $x_{3 ， 4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数m，n满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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22. 阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.

【材料二】若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则有： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

(2)、若 $M_{1} (t ， y_{1}) ， M_{2} (t - 1 ， y_{2}) ， M_{3} (t + 1 ， y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 构成“友好数”，求实数t的值；

(3)、设三个实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 是“友好数”且满足 $0 < x_{1} < x_{3} < x_{2}$ ，其中 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $n x^{2} + m x + n = 0 (n \neq 0)$ 的两个根， $x_{3}$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴的一个交点的横坐标.
① $a + b + c$ 的值等于；

②设 $x = \frac{b}{a} ， y = \frac{b^{2} + a c}{a^{2}}$ ，求y关于x的函数关系式.

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23. 定义，若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} \leq x_{2}$ ），分别以 $x_{1} ， x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.

(1)、若方程为 $x^{2} - 3 x = 0$ ，写出该方程的的衍生点M的坐标.

(2)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - (5 m + 1) x + 5 m = 1$ 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.

(3)、是否存在b，c，使得不论k（ $k \neq 0$ ）为何值，关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线 $y = k x + 2 (k + 3)$ 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.

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24. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtΔABC和 RtΔBED 的边长，已知 $A E = \sqrt{2} c$ ，这时我们把关于 x 的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ ，必有实数根；

(3)、若 x = -1是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6 $\sqrt{2}$ ，求ΔABC 的面积．

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