浙教版备考2023年中考数学一轮复习20.一元二次方程及其解法

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x y + 2 = 1$ B、 $x^{2} + \frac{1}{2 x} - 9 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + b x + c = 0$

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2. 根据方程x²﹣3x﹣5＝0可列表如下（　　）
x
﹣3
﹣2
﹣1
…
4
5
6
x²﹣3x﹣5
13
5
﹣1
…
﹣1
5
13
则x的取值范围是（　　）

A、﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 B、﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 C、﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D、﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5

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3. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式a+b的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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4. 一元二次方程x²-9=0的解是（）

A、x=3 B、x=-3 C、x=±3 D、x=9

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5. 一元二次方程（x﹣1）²＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（）

A、x+1＝﹣5 B、x+1＝5 C、x﹣1＝﹣5 D、x﹣1＝5

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6. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 9$

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7. 以 $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 c}}{2}$ 为根的一元二次方程可能是（）

A、 $x^{2} - 4 x - c = 0$ B、 $x^{2} + 4 x - c = 0$ C、 $x^{2} - 4 x + c = 0$ D、 $x^{2} + 4 x + c = 0$

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ ，则原方程可化为（）

A、 $(x - 2) (x - 3) = 0$ B、 $(x + 2) (x + 3) = 0$ C、 $(x - 2) (x + 3) = 0$ D、 $(x + 2) (x - 3) = 0$

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9. 关于x的一元二次方程方程ax²＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x₁=m-3，x₂=1-m，那么方程a（x-m）²+bx+c=mb的解是（）

A、x₁=3，x₂=1 B、x₁=2m－3，x₂=1 C、x₁=2m－3，x₂=1－2m D、x₁=－3，x₂=1－2m

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10. 若 $x$ 为任意实数，且 $M = (7 - x) (3 - x) (4 - x^{2})$ ，则 $M$ 的最大值为（）

A、10 B、84 C、100 D、121

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若 $(m + 2) x^{| m |} + (m - 1) x - 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m的值是．

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12. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x = 5$ 时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．

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13. 方程 $x (x + 2) = x + 2$ 的解是．

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14. 若x，y为实数，且 $(x^{2} + y^{2} + 1) (x^{2} + y^{2}) = 12$ ，那么 $x^{2} + y^{2} =$ ．

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15. 若一元二次方程（x-3）²=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是

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16. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 解方程.

(1)、2(x＋2)²-8＝0；

(2)、x(x-3)＝x；

(3)、 $\sqrt{3}$ x²＝6x- $\sqrt{3}$ ；

(4)、(x＋3)²＋3(x＋3)-4＝0.

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18. 小敏与小红两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下框：

小敏：两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小红：移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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19. 在用配方法解一元二次方程4x²﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x²﹣12x﹣1＝0可化成（2x）²﹣6×2x﹣1＝0，

移项，得（2x）²﹣6×2x＝1．

配方，得（2x）²﹣6×2x+9＝1+9，

即（2x﹣3）²＝10．

由此可得2x﹣3＝± $\sqrt{10}$ ∴x₁ $= \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$ ，x₂ $= \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ ．

晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？

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20. 阅读下面的例题.
解方程： $x^{2} - | x | - 1 = 0$ .

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.

（2）当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ .

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$ .

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21. 阅读下列材料：为解方程 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ 可将方程变形为 ${(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$ 然后设 $x^{2} = y$ ，则 ${(x^{2})}^{2} = y^{2}$ ，原方程化为 $y^{2} - y - 6 = 0$ ①，解①得 $y_{1} = - 2$ ， $y_{2} = 3$ .当 $y_{1} = - 2$ 时， $x^{2} = - 2$ 无意义，舍去；当 $y_{2} = 3$ 时， $x^{2} = 3$ ，解得 $x = \pm \sqrt{3}$ ；∴原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3}$ ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题.

利用以上学习到的方法解下列方程：

(1)、 ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 5 x^{2} + 10 x + 6 = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 15 x + 2 \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 2$ .

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22. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0 ， x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、根据上述定义，判断方程 $2 x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 1 = 0$ （填“是”或“不是”）“邻根方程”；

(2)、已知关于x的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0 (m$ 是常数 $)$ 是“邻根方程”，求m的值；

(3)、若关于x的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a$ 、b是常数， $a > 0)$ 是“邻根方程”，令 $t = 12 a - b^{2}$ ，试求t的最大值．

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23. 阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

(1)、问题：方程 $6 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x = 0$ 的解是： $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 21 m$ ，宽 $A B = 8 m$ ，点 $P$ 在 $A D$ 上（ $A P ＞ P D$ ），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点 $B$ ，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点 $P$ ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ ，求 $A P$ 的长．

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24. 先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：
求代数式y²+4y+8的最小值．

解：y²+4y+8＝y²+4y+4+4＝（y+2）²+4，

∵（y+2）²≥0，

∴（y+2）²+4≥4

∴y²+4y+8的最小值是4．

(1)、求代数式m²+m+4的最小值；

(2)、求代数式24﹣2x²+8x的最大值；

(3)、某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

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x	﹣3	﹣2	﹣1	…	4	5	6
x²﹣3x﹣5	13	5	﹣1	…	﹣1	5	13