浙教版备考2023年中考数学一轮复习17.二元一次方程（组）及其解法

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列方程组是二元一次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} m n = 2 \\ m + n = 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 m - 2 n = 0 \\ \frac{1}{m} + n = 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} m + n = 0 \\ 3 m + 2 a = \frac{1}{6} \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} m = 8 \\ \frac{m}{3} - \frac{n}{2} = 1 \end{array}$

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2. 利用代入法解方程组 ${\begin{array}{l} y = 2 x + 1 ① ， \\ x - y = - 1 ② ， \end{array}$ 将①代入②得（）

A、 $x - 2 x + 1 = - 1$ B、 $x + 2 x - 1 = - 1$ C、 $x - 2 x - 1 = - 1$ D、 $x + 2 x + 1 = - 1$

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3. 在用代入消元法解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = - 2 \\ 3 x - 4 y = 6 \end{array}$ 时，消去未知数x后，得到的方程为（）

A、 $3 (- 2 - 3 y) - 4 y = 6$ B、 $3 (- 2 - 3 y) + 4 y = 6$ C、 $3 (- 2 + 3 y) - 4 y = 6$ D、 $3 (- 2 + 3 y) + 4 y = 6$

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4. 如果 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 3 \end{array}$ 是关于x和y的二元一次方程 $m x - 2 y = 2$ 的解，那么m的值是（　　）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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5. 已知关于x、y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 6 - 2 k \\ x + 2 y = 2 k - 3 \end{array}$ 的解满足2x-y＝2k，则k的值为（）

A、k $= \frac{7}{4}$ B、k $= \frac{3}{2}$ C、k $= \frac{4}{7}$ D、k $= \frac{2}{3}$

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6. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 0 \end{array}$ 是方程 $a x - b y = 1$ 的解，则 $a$ ， $b$ 的值为（）

A、 $a = - 1$ ， $b = - 1$ B、 $a = - 1$ ， $b = 1$ C、 $a = 0$ ， $b = - 1$ D、 $a = - 1$ ， $b = 0$

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7. 若二元一次方程2x+y＝3，3x﹣y＝2和2x﹣my＝﹣1有公共解，则m的取值为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、3 D、4

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8. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解为 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \end{matrix}$ ，则关于方程组 ${\begin{matrix} a_{1} (x + 1) + 2 b_{1} (y - 1) = 3 c_{1} \\ a_{2} (x + 1) + 2 b_{2} (y - 1) = 3 c_{2} \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 7 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 13 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 7 \end{matrix}$

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9. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = k \\ 2 x + 3 y = 3 k - 1 \end{array}$ ，以下结论正确的有个．（）
①不论 $k$ 取什么实数， $x + 3 y$ 的值始终不变；②存在实数 $k$ ，使得 $x + y = 0$ ；③当 $y - x = - 1$ 时， $k = 1$ ；④当 $k = 0$ ，方程组的解也是方程 $x - 2 y = - 3$ 的解．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x - 9 = 2 (y + 9) ， \\ y + 9 = x - 9 . \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 (y - 9) ， \\ y + 9 = x - 9 . \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 y ， \\ y + 9 = x . \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - 9 = 2 y ， \\ y + 9 = x - 9 . \end{array}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若方程 $x^{2 a - b} - 3 y^{a + b} = 2$ 是关于x、y的二元一次方程，则 $a b =$ ．

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12. 某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%.若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为.

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13. 已知关于x，y 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = k \\ x + 2 y = - 1 \end{array}$ 的解互为相反数，则k的值是．

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14. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 5 x - 3 y = 16 \\ 3 x - 5 y = 0 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 3 \end{array}$ ；那么方程组 ${\begin{array}{l} 5 (x + y) - 3 (x - y) = 16 \\ 3 (x + y) - 5 (x - y) = 0 \end{array}$ 的解是．

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15. 已知关于x、y的方程组 ${\begin{cases} x - 3 y = 4 - t \\ x + y = 3 t \end{cases}$ ，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：① ${\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ 是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有（填写正确答案的序号）．

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16. 对于实数 $a$ ， $b$ ，定义运算“ $◆$ ”： $a ◆ b = {\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} ， a \geq b \\ a b ， a < b \end{array}$ ，例如 $4 ◆ 3$ ，因为 $4 > 3$ ，所以 $4 ◆ 3 = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 .$ 若 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 4 x - y = 8 \\ x + 2 y = 29 \end{array}$ ，则 $x ◆ y =$ ．

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三、解答题（共10题，共72分）

17. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x = 3 y \\ 5 x - 3 y = 9 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} y = - 1 \\ 2 x + y = 3 \end{array}$

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18. 已知：关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 2 m + 7 ① \\ x + y = 4 m - 3 ② \end{array}$ 的解为负数，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 6 \end{array}$ 都是方程 $a x - y + b = 0$ 的解，求a、b的值．

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20. 已知关于 $x 、 y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 6 ， \\ 3 x - y = 4 \end{array}$ 的解也是关于 $x 、 y$ 的二元一次方程 $2 a x - 3 y = 0$ 的一组解，求 $a$ 的值.

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21. 一个被墨水污染了的方程组： ${\begin{array}{l} * x + * y = 2 \\ * x - 7 y = 8 \end{array}$ ，小明回忆道：“这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ ，而我求的解是 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，经检验后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致”根据小明的回忆，你能求出原方程组吗？

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22. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{array}$ ，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(2 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(2 x - 3 y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 $m = 2 x + 3 y$ ， $n = 2 x - 3 y$ ．
原方程组化为 ${\begin{array}{l} \frac{m}{4} + \frac{n}{3} = 7 \\ \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 8 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ ，
把 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ 代入 $m = 2 x + 3 y$ ， $n = 2 x - 3 y$ ，
得 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 60 \\ 2 x - 3 y = - 24 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ ．
∴原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ ．
请你参考小明同学的做法解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) + 3 (y - 2) = 1 \\ (x + 1) - 2 (y - 2) = 4 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{5} = - 3 \\ 2 (x + y) - 3 x + 3 y = 26 \end{array}$

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23. 对于实数m ，可用[m]表示不超过m的最大整数，例如：[2.7]＝2， $[- 5] = - 5$ ．

(1)、 $[- 2.5] =$ ，[0]＝；

(2)、若实数x满足 $[x] + [2 x] = 5 x - 6$ ，求满足条件的x的值．

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24. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组 ${\begin{array}{l} 17 x + 19 y = 21 ① \\ 23 x + 25 y = 27 ② \end{array}$ 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得： $6 x + 6 y = 6$ ，即 $x + y = 1$ .③
$③ \times 17$ 得： $17 x + 17 y = 17$ .④
①-④得： $y = 2$ ，代入③得 $x = - 1$ .
所以这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ .

(1)、请你运用小明的方法解方程组 ${\begin{array}{l} 1997 x + 1999 y = 2001 \\ 2017 x + 2019 y = 2021 \end{array}$ .

(2)、规律探究：猜想关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x + (a + 2) y = a + 4 \\ b x + (b + 2) y = b + 4 \end{array} (a \neq b)$ 的解是.

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25.

(1)、点点在解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 $②$ 变形： $4 x + 10 y + y = 5$ ，即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5. ③$

把方程 $①$ 代入 $③$ 得： $2 \times 3 + y = 5$ ，所以 $y = - 1$ .

把 $y = - 1$ 代入 $①$ 得， $x = 4$ .

所以方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ .

请你模仿点点的“整体代换”法解方程组 ${\begin{array}{l} 5 a - 2 b = 5 \\ 15 a - 4 b = 25 \end{array}$ .

(2)、 $\bar{a 5}$ 表示一个两位数，其中 $a$ 为 $1 ～ 9$ 的整数.圆圆在研究 $\bar{a 5}$ 平方的规律时发现：
$15^{2} = 15 \times 15 = 225 = (1 \times 2) \times 100 + 25$ .

$25^{2} = 25 \times 25 = 625 = (2 \times 3) \times 100 + 25$ .

$35^{2} = 35 \times 35 = 1225 = (3 \times 4) \times 100 + 25. \dots$ 猜想 ${(\bar{a 5})}^{2}$ 的结果，并说明理由.

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26. 阅读下列材料，解答提出的问题．
我们知道，二元一次方程 $x + y = 1$ 有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对 $(x ， y)$ 表示，就可以标出一些以方程 $x + y = 1$ 的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程 $x + y = 1$ 的解．我们把以方程 $x + y = 1$ 的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程 $x + y = 1$ 的图象，记作直线 $l_{1}$ ．

(1)、【初步探究】下列点中，在方程 $x + y = 1$ 的图象 $l_{1}$ 上的是______；

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 3 ， 2)$

(2)、在所给的坐标系中画出方程 $x - 2 y = - 3$ 的图象 $l_{2}$ ；

(3)、【理解应用】直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点M，求点M的坐标；

(4)、点 $P (x_{1} ， a)$ ， $Q (x_{2} ， a)$ 分别在直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上．当 $P Q \leq 4$ 时，请直接写出a的取值范围．

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