浙教版备考2023年中考数学一轮复习12.分式及其运算

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列各式中： $- 3 x$ ， $\frac{5}{x + y}$ ， $\frac{6}{π}$ ， $\frac{1}{m}$ ， $\frac{x - 1}{3}$ ，分式的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若分式 $\frac{(x + 2) (x - 3)}{x^{2} - 4}$ 的值为零，则x的值是（）

A、-2 B、3 C、2 D、3或-2

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3. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（）

A、 $\frac{a m}{b m} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{a - 1}{b - 1}$

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4. 下列分式是最简分式的是（）

A、 $\frac{15 b}{5 a}$ B、 $\frac{4 b^{3}}{3 a b}$ C、 $\frac{2 - a}{a - 2}$ D、 $\frac{- a - b}{a - b}$

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5. 下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（）

A、 $\frac{1}{3 x}$ 与 $\frac{1}{6 x}$ 的最简公分母是6x B、 $\frac{1}{3 a^{2} b^{3}}$ 与 $\frac{1}{3 a^{2} b^{3} c}$ 的最简公分母是 $3 a^{2} b^{3} c$ C、 $\frac{1}{a (x - y)}$ 与 $\frac{1}{b (y - x)}$ 的最简公分母是 $a b (x - y) (y - x)$ D、 $\frac{1}{m + n}$ 与 $\frac{1}{m - n}$ 的是简公分母是 $m^{2} - n^{2}$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{1}{4 x} - \frac{1}{4 y} = \frac{1}{4 (x - y)}$ B、 $\frac{y}{x} + \frac{y}{z} = \frac{2 y}{x z}$ C、 $\frac{x}{3 y} - \frac{x + 1}{3 y} = \frac{1}{3 y}$ D、 $\frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - x} = 0$

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7. 新型冠状病毒颗粒近似呈球状，其直径介于 $60 n m ~ 140 n m$ ，平均为 $100 n m$ ，若 $1 n m = 1 0^{- 9} m$ ，则 $100 n m$ 可以用科学记数法表示为（）

A、 $1 0^{- 7} m$ B、 $1 0^{- 8} m$ C、 $1 0^{- 9} m$ D、 $1 0^{- 11} m$

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8. 无论 $x$ 取什么数，总有意义的代数式是（）

A、 $\sqrt{x^{2}}$ B、 $\frac{4 x}{x^{3} + 1}$ C、 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ D、 $\sqrt{x + 3}$

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9. 你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m₁ ， m₂ ，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝ $\frac{g m_{1} m_{2}}{d^{2}}$ （g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的 $\frac{4}{45}$ ，地球的质量约占木星质量的 $\frac{1}{318}$ ，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（）

A、 $\frac{5}{2}$ 倍 B、 $\frac{2}{5}$ 倍 C、25倍 D、4倍

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10. 若把分式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 中的 $x, y$ 同时扩大2倍，则分式的值（）

A、是原来的2倍 B、是原来的 $\frac{1}{2}$ C、是原来的 $\frac{1}{4}$ D、不变

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 要使式子 $\sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 若 $\frac{2 a + 8}{a + 1}$ 的值为整数，则正整数a的值为．

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13. 化简： $\frac{3 - x}{9 - 6 x + x^{2}} =$ ； $\frac{x^{2}}{x - y} - \frac{y^{2}}{x - y}$ = ．

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14. 已知 $x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} =$ .

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15. 计算： $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x + 1}{2 x - 2} =$ ．

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16. 已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ， $b = {(- 2)}^{2}$ ， $c = {(π - 2021)}^{0}$ ，则a，b，c的大小关系为．

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三、综合题（共8题，共66分）

17. 计算：

(1)、 $1 - \frac{a}{a - 1} + \frac{2}{a^{2} - 1}$

(2)、 $(a - 1 - \frac{2 a - 1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{2 + 2 a}$

(3)、 $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \div (\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y})$

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18. 先化简再求值： $(a - 2 + \frac{1}{a}) \div \frac{{(a - 1)}^{2}}{| a |}$ ，其中a使反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象分别位于第二、四象限.

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19. 化简： $\frac{3}{x - 1} + \frac{x - 3}{1 - x^{2}}$ 小明的解答如下：
原式= $\frac{3}{x - 1} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

=（x²-1） $\frac{3}{x - 1}$ -（x²-1） $\frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

=3（x+1）-（x-3）

=2x+6

小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．

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20. 先化简再求值： $(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{1}{x + 1}$ ，再在 $- 1$ ， 0，1，2中选择一个合适的数代入求值．

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21. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝ $- \frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝；x₁x₂＝．

(2)、类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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22. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)、接力中，自己负责的一步出现错误的是

A、只有乙 B、甲和丁 C、乙和丙 D、乙和丁

(2)、请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，﹣2”中选择一个合适的数求值.

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23. 已知分式1﹣ $\frac{m}{m^{2} - 1}$ ÷（1+ $\frac{1}{m - 1}$ ）.

(1)、请对分式进行化简；

(2)、如图，若m为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第段上.（填写序号即可）

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24. 在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如 $\frac{3}{x - 1}$ ， $\frac{- 3 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
$\frac{x + 1}{x - 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) + 2}{x - 1}$ ＝1+ $\frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ＝ $\frac{x^{2} - 1 + 1}{x + 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) (x + 1) + 1}{x + 1}$ ＝x﹣1+ $\frac{1}{x + 1}$ .
参考上面的方法解决下列问题：

(1)、将分式 $\frac{x + 6}{x + 2}$ 化为带分式；

(2)、求分式 $\frac{23 - 9 n}{8 - n}$ 的最大值；（其中n为正整数）

(3)、已知分式 $\frac{2 t + 3}{t + 2}$ 的值是整数，求t的整数值.

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