浙教版备考2023年中考数学一轮复习11.因式分解

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列从左到右的变形是分解因式的是（）

A、 $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$ B、 $x^{2} - y^{2} + 2 = (x + y) (x - y) + 2$ C、 $(x - 1) (x - 2) = (x - 2) (x - 1)$ D、 $2 a b - 2 a c = 2 a (b - c)$

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2. 下列各组多项式中，没有公因式的是（　　）

A、ax﹣bx和by﹣ay B、3x﹣9xy和6y²﹣2y C、x²﹣y²和x﹣y D、a+b和a²﹣2ab+b²

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3. 把 $(a - b) + m (b - a)$ 提取公因式 $(a - b)$ 后，则另一个因式是（）

A、 $1 - m$ B、 $1 + m$ C、m D、 $- m$

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4. 下列各式中，能用公式法分解因式的是（）

A、 $x^{2} - x$ B、 $4 x^{2} + 4 x - 1$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $4 x^{2} - 1$

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5. 把二次三项式2x²﹣8xy+5y²因式分解，下列结果中正确的是（）

A、（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y）（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y） B、（2x﹣4y+ $\sqrt{6}$ y）（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y） C、（2x﹣4y+ $\sqrt{6}$ y）（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y） D、2（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y）（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y）

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6. 多项式 $39 x^{2} + 5 x - 14$ 可因式分解成 $(3 x + a) (b x + c)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为整数，求 $a + 2 c$ 之值为何？（）

A、-12 B、-3 C、3 D、12

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7. 下列多项式因式分解正确的是（）

A、x²+y²=（x+y）² B、x²-6x+9=x（x-6）+9 C、-x²-2xy-y²=-（x-y）² D、2x²+xy-y²=（2x-y）（x+y）

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8. 已知 $a - b = 3 ， b + c = - 5$ ，则代数式 $a c - b c + a^{2} -$ ab的值为（）

A、-15 B、-2 C、-6 D、6

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9. 下列各数中，不能整除 $80^{3} - 80$ 的是（）

A、78 B、79 C、80 D、81

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10. 一次课堂练习，王莉闰学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（）

A、 $x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y)$ B、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ C、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 给出下列多项式：① $x^{2} + y^{2}$ ；② $x^{2} - y^{2}$ ；③ $x^{2} + x y + y^{2}$ ；④ $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；⑤ $x^{4} - 1$ ；⑥ $m^{2} - m n + \frac{1}{4} n^{2}$ .其中能够因式分解的是：（填上序号）.

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12. 多项式 $4 x^{3} y^{2} + 8 x^{2} y^{3} - 2 x^{2} y$ 分解因式时所提取的公因式是.

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13. 将多项式 $a b (a - b) - a (b - a)^{2}$ 分解因式的结果是．

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14. 因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2017$ 的值为．

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16. 在生活中很多场合都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，其原理是：如对于多项式 $a^{2} - b^{2}$ ，因式分解的结果是（a＋b）（a-b），若取a＝8，b＝3则各个因式的值是：（a＋b）＝11，（a-b）＝5，于是就可以把1105作为一个四位数的密码，那么对于多项式 $4 x^{2} - 9 y^{2}$ ，若取x＝4，y＝2时，用上述方法产生的四位数密码是．（写出一个即可）．

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三、综合题（共8题，共66分）

17. 分解因式

(1)、 $x^{4} - 8 x^{2} y^{2} + 16 y^{4}$

(2)、 $x^{2} (x + 4) - 4 x (x + 1)$

(3)、 $(x^{2} + 1)^{2} - 4 x^{2}$

(4)、 $x^{2} - 7 x + 12$

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18. 小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
$(30 x^{4} y^{2} + M + 12 x^{2} y^{2}) \div (- 6 x^{2} y) = N + 3 x y - 2 y .$

(1)、请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；

(2)、爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ²ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．

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19. 已知 $A = a + 2 ， B = a^{2} + a - 7$ ，其中 $a > 2$ ，求出 $A$ 与 $B$ 哪个大.

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20. 阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，求另一个因式以及m的值

解：设另一个因式为 $(x + n)$ ，得 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$

则 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ ∴ ${\begin{cases} n + 3 = - 4 \\ m = 3 n \end{cases}$ 解得： $n = - 7$ ， $m = - 21$

∴另一个因式为 $(x - 7)$ ，m的值为—21

请仿照上面的方法解答下面的问题：

已知二次三项式 $2 x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是 $(x - 5)$ ，求另一个因式以及k的值。

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21. 甲、乙两个同学因式分解 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了a，分解结果为 $(x + 4) (x - 8)$ ，乙看错了b，分解结果为 $(x - 2) (x + 6)$ ．求多项式 $x^{2} + a x + b$ 分解因式的正确结果．

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22. 我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的分解：c=a×b（a．b是正整数，且a≤b），在c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，我们就称a×b是c的最优分解并规定：M（c）= $\frac{b}{a}$ ，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M（9）= $\frac{3}{3}$ =1

(1)、求M（8）；M（24）；M[（c+1）²]的值；

(2)、如果一个两位正整数d（d=10x+y ， x ， y都是自然数，且1≤x≤y≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M（d）的最大值．

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23. 某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮： $m^{2} - m n + 2 m - 2 n$
= $(m^{2} - m n) + (2 m - 2 n)$
= $m (m - n) + 2 (m - n)$
= $(m - n) (m + 2)$
小颖： $4 x^{2} - y^{2} - z^{2} + 2 y z$
$= 4 x^{2} - (y^{2} + z^{2} - 2 y z)$
= $2 x^{2} - (y - z)^{2}$
$= (2 x + y - z) (2 x - y + z)$ ．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；

(1)、因式分解 $a^{3} - 3 a^{2} - 9 a + 27$ ；

(2)、因式分解 $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} - 16$ ；

(3)、已知a，b，c是 $Δ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - a b + c^{2} = 2 a c - b c$ ，判断 $Δ A B C$ 的形状并说明理由．

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24. 浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：x²+2x-3=（x²+2x+1）-4=（x+1）²-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x²+4x-6的最小值：2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2（x+1）²-8，可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式：m²-4m-5=；

(2)、求代数式-a²+8a+1的最大值；

(3)、当a，b为何值时，多项式a²-4ab+5b²+2a-2b+ $\frac{11}{4}$ 有最小值，并求出这个最小值；

(4)、设a为实数，b为正整数，当多项式a²-4ab+5b²+2a-2b+ $\frac{11}{4}$ 取得最小整数时，则a= ， b=

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