浙教版备考2023年中考数学一轮复习10.定义新运算

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、单选题（每题3分，共30分）

1. 对有理数a ， b ，规定运算如下： $a ※ b = a - a^{b}$ ，则 $- 2 ※ 3$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 6$ C、6 D、4

查看试题解析
2. 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算 $82 \times 34$ ，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）

A、b的值为6 B、a为奇数 C、a的值大于3 D、乘积结果可以表示为 $101 b + 10 （ a + 1 ） - 1$

查看试题解析
3. 定义运算 $a \otimes b = (a - 1) b$ ，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的是（）

A、 $(- 2) \otimes 2 = - 6$ B、若 $a \otimes b = 0$ ，则 $a = 1$ 或 $b = 0$ C、 $a \otimes b = b \otimes a$ D、 $a \otimes (b + c) = a \otimes b + a \otimes c$

查看试题解析
4. 数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的和记作 $\sum_{k = 1}^{n} k$ ，即 $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ ；把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；则 $\sum_{i = 1}^{2020} i - \sum_{i = 1}^{2021} i + \frac{2021!}{2020!}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2020 D、2021

查看试题解析
5. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $2$ ”．其推导方法如下：在面积是 $1$ 的矩形中设矩形的一边长为 $x$ ，则另一边长是 $\frac{1}{x}$ ，矩形的周长是 $2 (x + \frac{1}{x})$ ；当矩形成为正方形时，就有 $x = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，解得 $x = 1$ ，这时矩形的周长 $2 (x + \frac{1}{x}) = 4$ 最小，因此 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $2$ ．模仿张华的推导，你求得式子 $\frac{x^{2} + 4}{x} (x > 0)$ 的最小值是（）．

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
6. 定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）

A、x=3 B、x=﹣1 C、x1=3，x2=1 D、x1=3，x2=﹣1

查看试题解析
7. 将4个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ ，并规定 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c .$ 例如 $|\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}| = 2 \times 3 - 4 \times 1 = 2$ ，则 $|\begin{matrix} x & 3 \\ x & x - 1 \end{matrix}| = - 3$ 的根的情况为（）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

查看试题解析
8. 某同学根据二维码的原理设计了一个方形码的运算：如图，在3×3的正方形网格中，黑色格子表示1，白色格子表示0，每一行都按f（x）＝ax²﹣bx+c进行计算，其中x代表第几行，a代表每一行的第一个格子，b代表每一行的第二个格子，c代表每一行的第三个格子．例如：f（1）＝1×1²﹣0×1+1＝2，f（2）＝0×2²﹣1×2+1＝﹣1，则f（3）的值是（）

A、0 B、2 C、6 D、7

查看试题解析
9. 定义新运算： $a \oplus b = {\begin{matrix} \frac{a}{b} (b > 0) \\ - \frac{a}{b} (b < 0) \end{matrix}$ 例： $3 \oplus 4 = \frac{3}{4}$ ， $3 \oplus (- 4) = - \frac{3}{4}$ .则函数 $y = 5 \oplus x (x \neq 0)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 已知y₁和y₂均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M₁和M₂ ，若存在实数m，使得M₁+M₂＝1，则称函数y₁和y₂具有性质P.以下函数y₁和y₂不具有性质P的是（）

A、y₁＝x²+2x和y₂＝﹣x﹣1 B、y₁＝x²+2x和y₂＝﹣x+1 C、y₁＝﹣ $\frac{1}{x}$ 和y₂＝﹣x﹣1 D、y₁＝﹣ $\frac{1}{x}$ 和y₂＝﹣x+1

查看试题解析

二、填空题（每题3分，共18分）

11. 对于实数，我们规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[4] = 4 ， [\sqrt{3}] = 1 ， [- 2.5] = - 3$ ，现对82进行如下操作： $82^{第一次} [\frac{82}{\sqrt{82}}] = 9^{第二次} [\frac{9}{3}] = 3^{第三次} [\frac{3}{\sqrt{3}}] = 1$ ，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对400只需进行次操作后变为1.

查看试题解析
12. 平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $(x ， y)$ ，点Q的坐标为 $(m x + y ， x + m y)$ ，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点 $P (1 ， 2)$ 的3级派生点是 $(3 \times 1 + 2 ， 1 + 3 \times 2)$ ，即 $Q (5 ， 7)$ ．如图点 $Q (3 ， - 2)$ 是点 $P (x ， y)$ 的 $- \frac{3}{2}$ 级派生点，点A在x轴正半轴上，且 $S_{△ A P Q} = 3$ ，则点A的坐标为．

查看试题解析
13. 我们把对非负数x “四舍五入”到个位的值记为 $《 x 》$ ，即当n为非负整数时，若 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 $《 x 》 = n$ ，例如 $《 0.67 》 = 1 ，《 2.49 》 = 2 ，$ 下列结论中：① $《 2 x 》 = 2 《 x 》$ ；②当m为非负整数时， $《 m + 2 x 》 = m + 《 2 x 》$ ；③满足 $《 x 》 = \frac{3}{2} x$ 的非负整数x只有两个．其中结论正确的是(填序号)

查看试题解析
14. 对于实数x，y，我们定义符号min{x，y}的意义为：当x＜y时，min{x，y}＝x；当x≥y时，min{x，y}＝y，如：min{6，﹣4}＝﹣4，min{4，4}＝4，min{ $\frac{3 x - 1}{2}$ ， $\frac{x + 1}{3}$ } $= \frac{x + 1}{3}$ 时，则x的取值范围为．

查看试题解析
15. 在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，运用长度比 $15 ： 12 ： 10$ 的琴弦时，进行敲击，会发出 $d o$ 、 $m i$ 、 $s o$ 这三个调和的乐音．从数学角度看，会发现这样一个规律 $\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$ ，我们把 $12$ 、 $15$ 、 $10$ 称之为一组调和数，若以下有一组调和数：x、5、 $3 (x > 5)$ ，那么x= ．

查看试题解析
16. 定义：若一个两位数k，满足 $k = m^{2} + m n + n^{2}$ （m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记 $F (k) = m n$ .例如： $39 = 2^{2} + 2 \times 5 + 5^{2}$ ，则39是一个“类完全平方数”，且 $F (39) = 2 \times 5 = 10$ .

(1)、已知37是一个“类完全平方数”，则 $F (37) =$ ；

(2)、若两位数a是一个“类完全平方数”，且 $F (a) = \frac{a - 9}{3}$ ，则a的最大值=.

查看试题解析

三、综合题

17. 若 $[x]$ 表示不超过x的最大整数（如 $[π] = 3 ， [- 2 \frac{2}{3}] = - 3$ 等），求 $[\frac{1}{2 - \sqrt{1 \times 2}}] + [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}]$ $+ [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}] + \dots + [\frac{1}{2014 - \sqrt{2013 \times 2014}}]$ 的值．

查看试题解析
18. 定义一种新的算法： $x ○ y = a x + b y$ ，如 $2 ○ 3 = 2 a + 3 b$ ．若 $1 ○ (- 3) = 8$ ， $(- 3) ○ 2 = - 10$ ，求a，b的值．

查看试题解析
19. 定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m²n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)²×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²－bx＋a＝0的根的情况.

查看试题解析
20. 如果 $a^{c} = b$ ，那么我们规定 $(a ， b) = c$ ，例如：因为 $2^{3} = 8$ ，所以 $(2 ， 8) = 3$ ．

(1)、根据上述规定，填空： $(3 ， 9) =$ ， $(4 ， 1) =$ ， $(2 ， \frac{1}{8}) =$ ；

(2)、若记 $(3 ， 4) = a$ ， $(3 ， 7) = b$ ， $(3 ， 28) = c$ ，求证： $a + b = c$ ．

查看试题解析
21. 我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为 $| x - y |$ ．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若 $| a - n | + | b - n | = d$ ，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： $| 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 3 ，$ 则2和3关于1的“相对关系值”为3．

(1)、−3和5关于1的“相对关系值”为：

(2)、若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．

(3)、若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．

查看试题解析
22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 是“和谐分式”．

(1)、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\frac{x + 3}{3}$ ② $\frac{x - 5}{x}$ ③ $\frac{x - 1}{x + 2}$ ④ $\frac{x + 1}{x^{2}}$

(2)、请将“和谐分式” $\frac{x^{2} + 6 x + 3}{x + 3}$ 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；

(3)、应用：先化简 $(x - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x + 1}{x^{2} + 6 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

查看试题解析
23. 观察下列两个等式： $2 - \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} + 1 ， 5 - \frac{2}{3} = 5 \times \frac{2}{3} + 1$ ，给出定义如下：我们称使等式 $a - b = a b + 1$ 成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为 $(a ， b)$ ．

(1)、通过计算判断有理数对“-2，1”、“4， $\frac{3}{5}$ ”是不是“共生有理数对”；

(2)、若 $(2 ， a)$ 是“共生有理数对”，求a的值．

(3)、若 $(- m 、 - n)$ 是“共生有理数对”，则“n，m”是不是 “共生有理数对”．

查看试题解析
24. 定义：对于两个关于x的函数y₁ ， y₂.如果x=t，两个函数的函数值相等，即y₁=y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，其中x=t叫做函数y₁ ， y₂的“等值根”.例如：对于函数 $y_{1} = 2 x ， y_{2} = - x + 3$ .当x=1时，y₁=y₂=2.因此y₁ ， y₂互为“等值函数”，x=1是这两个函数的“等值根”.

(1)、函数 $y = x - 1$ 与 $y = \frac{1}{x}$ （填“是”或“不是”）“等值函数”；

(2)、已知函数 $y_{1} = k (x - 1) + 1$ 与 $y_{2} = {\begin{array}{l} 2 x - 2 (x \geq 1) \\ 2 - 2 x (x < 1) \end{array}$ ， $y_{3} = - | x^{2} + 2 x |$ .函数y₂的图象如图所示.
①若 $k = - 1$ ，求y₁与y₂的“等值根”；
②若y₁与y₂只存在一个“等值根”，则k的取值范围为 ▲ 。
③若函数y₁与y₃互为“等值函数”，且有两个“等值根”，请直接写出k的取值范围.

查看试题解析
25. 定义：已知，一次函数 $y_{1} = m x + n (m \neq 0)$ 和二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .若 $y = k y_{1} - y_{2}$ （k为实数）则y称 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的“k函数”.

(1)、若 $y_{1} = x - 2$ ， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的“2函数”为 $y = 3 x^{2} + 2 x - 1$ ，求 $y_{2}$ 的解析式.

(2)、设一次函数 $y_{3} = 2 x + 2$ 和二次函数 $y_{4} = x^{2} - 2 x + 3$ .
①求 $y_{3}$ 和 $y_{4}$ 的“k函数”解析式（用含k的代数式表示）.
②不论k取何值， $y_{3}$ 和 $y_{4}$ 的“k函数”是否都过某定点，若是求出定点坐标；若否，请说明理由.
③不论k取何值，若二次函数 $y_{4} = x^{2} - 2 x + 3$ 上的点P关于x轴对称的点Q始终在 $y_{3}$ 和 $y_{4}$ 的“k函数”上，求点P坐标.

查看试题解析
26. 读一读
“数形结合”是一种重要的数学思想，其简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想．具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题．在中学数学的解题中，主要有三种类型：以数化形、以形变数、形数互变．
研一研
【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“最佳菱形”．如图是点A，C的“最佳菱形”的一个示意图．

(1)、【运用】已知点M的坐标为（2，2），点P的坐标为（4，4）．
下列各组点，能与点M，P形成“最佳菱形”的是．
①E（3，4），F（4，3） ②G（2，3），H（3，2） ③I（2，4），J（4，2）

(2)、如果四边形MNPQ是点M，P的“最佳菱形”．
①当点N的坐标为（6，0）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为16，且与直线y＝x＋b有公共点时，求b的取值范围．

查看试题解析