浙教版备考2023年中考数学一轮复习7.整式的乘法与乘法公式

试卷更新日期：2022-11-26 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{- 3} \cdot a^{- 2} = - a$ B、 $a^{- 8} \div a^{- 2} = a^{4}$ C、 ${(a^{- 2})}^{- 3} = a^{6}$ D、 $2 a^{- 2} = \frac{1}{2 a^{2}}$

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2. 下列计算不正确的是（）

A、 $3 x y - (x^{2} - 2 x y) = 5 x y - x^{2}$ B、 $2 a^{2} b \cdot 4 a b^{3} = 8 a^{3} b^{4}$ C、 $5 x \cdot (2 x^{2} - y) = 10 x^{3} - 5 x y$ D、 $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = x^{3} + 9$

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3. 已知 $(x + 3) (x - 2) = x^{2} + b x + c$ ，那么 $b$ 、 $c$ 的值分别是（）

A、 $b = 1$ ， $c = - 6$ B、 $b = 1$ ， $c = 6$ C、 $b = 5$ ， $c = - 6$ D、 $b = 5$ ， $c = 6$

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4. 如果多项式 $x^{2} + m x + 16$ 是一个二项式的完全平方式，那么 $m$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $+ 10$ C、 $8$ 或 $- 8$ D、 $- 8$

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5. 若代数式 $x^{2} + m x + 25$ 通过变形可以写成 ${(x + a)}^{2}$ 的形式，则 $m$ 的值是（）

A、5 B、10 C、 $\pm 5$ D、 $\pm 10$

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6. 下列去括号或添括号的变形中，正确的是（）

A、2a－（3b－c）＝2a－3b－c B、3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1 C、a＋2b－3c＝a＋（2b－3c） D、m－n＋a－b＝m－（n＋a－b）

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7. 若A、B、C均为整式，如果 $A \cdot B = C$ ，则称A能整除C，例如由 $(x + 3) (x - 2) = x^{2} + x - 6$ ，可知 $x - 2$ 能整除 $x^{2} + x - 6$ ．若已知 $x - 3$ 能整除 $x^{2} + k x - 7$ ，则k的值为（）

A、 $- \frac{7}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知 $a = \sqrt{2023 \times 2021}$ ， $b = \sqrt{202 0^{2} + 4 \times 2021}$ ， $c = 2021 \times 2020 - 2019 \times 2021$ ，则 $(a - b) (b - c)$ 的值（）

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、无法确定

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9. 如图，在边长为 $a$ 的正方形中挖掉一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A、 $a^{2} - a b = a (a - b)$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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10. 如图，将两张长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形 $A B C D$ 中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2} .$ 若知道下列条件，仍不能求 $S_{1} - S_{2}$ 值的是（）

A、长方形纸片长和宽的差 B、长方形纸片的周长和面积 C、①和②的面积差 D、长方形纸片和①的面积差

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 求值： $202 2^{2022} \times (\frac{1}{2022})^{2021} =$ ．

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12. 多项式A与2x的积为2x²+14x，则A＝．

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13. 计算： $(\sqrt{3} - 2)^{2021} \cdot (\sqrt{3} + 2)^{2022} =$ ．

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14. 若m²=n+2022，n²=m+2022（m≠n），那么代数式m³-2mn+n³的值．

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15. 利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），那么图2这个几何图形表示的可以等式是．

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16. 观察：（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1，（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1，（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1据此规律，当（x﹣1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝0时，代数式x²⁰²¹﹣1＝．

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三、解答题（共8题，共66分）

17.

(1)、先化简，再求值： $m (m - 2 n) + {(m + n)}^{2} - (m + n) (m - n)$ ，其中 $m = - 1$ ， $n = 4$ ；

(2)、已知 $x + y = 3$ ， $x y = 2$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值．

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18. 已知 $(x^{3} + m x + n) (x^{2} + x - 2)$ 展开式中不含 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 项，求代数式 $(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})$ 的值.

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19. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，求另一个因式以及 $m$ 的值．
解：设另一个因式为 $(x + n)$ ，得
$x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$
则 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$
∴ ${\begin{array}{l} n + 3 = - 4 \\ m = 3 n \end{array}$
解得： $n = - 7$ ， $m = - 21$
∴另一个因式为 $(x - 7)$ ， $m$ 的值为 $- 21$
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式 $2 x^{2} - 3 x - k$ 有一个因式是 $(2 x - 5)$ ，求另一个因式以及 $k$ 的值．

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20.

(1)、化简：（a+2b）²+（2a+b）（2a-b）-4b（a+b）；

(2)、设b = ma，是否存在实数m，使得（a+2b）²+（2a+b）（2a-b）-4b（a+b）能化简为2a² ，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由.

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21. 设 $a_{1} = 3^{2} - 1^{2} ， a_{2} = 5^{2} - 3^{2} ， \dots ， a_{n} = {(2 n + 1)}^{2} -$ ${(2 n - 1)}^{2} (n$ 为正整数).

(1)、探究 $a_{n}$ 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

(2)、若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n} ， \dots$ 这一列数中以小到大排列的前4个完全平方数，并指出当 $n$ 满足什么条件时， $a_{n}$ 为完全平方数(不必说明理间).

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22. 如图，长为40，宽为x的大长方形被分割为9小块，除阴影A， B两块外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．

(1)、分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，B两块的周长和．

(2)、分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，B的面积差．

(3)、当y取何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，并求出这个值．

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23. 给出如下定义：我们把有序实数对 $(a ， b ， c)$ 叫做关于x的二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 的特征系数对，把关于x的二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 叫做有序实数对 $(a ， b ， c)$ 的特征多项式.

(1)、关于x的二次多项式 $3 x^{2} + 2 x - 1$ 的特征系数对为；

(2)、求有序实数对 $(1 ， 4 ， 4)$ 的特征多项式与有序实数对 $(1 ， - 4 ， 4)$ 的特征多项式的乘积；

(3)、若有序实数对 $(p ， q ， - 1)$ 的特征多项式与有序实数对 $(m ， n ， - 2)$ 的特征多项式的乘积的结果为 $2 x^{4} + x^{3} - 10 x^{2} - x + 2$ ；直接写出 $(4 p - 2 q - 1) (2 m - n - 1)$ 的值为.

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24. 若一个整数能表示成 a²+b²（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，13＝3²+2² ，所以 13 是“完美数”．再如，M＝x²+2xy+2y²＝（x+y）²+y²（x，y 是整数），所以 M 也是“完美数”．

(1)、请直接写出一个小于 10 的“完美数”，这个“完美数”是；
判断：34（请填写“是”或“不是”）“完美数”；

(2)、已知S＝x²+4y²+4x﹣12y+k（x，y是整数，k 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个 k 值，并说明理由．

(3)、如果数 m，n 都是“完美数”，m≠n，试说明 $\frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{4}$ 也是“完美数”．

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25. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b².

(1)、如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

(2)、利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a²+b²+c²＝38，求ab+bc+ac的值.

(3)、如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积.

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