浙江省湖州市三贤联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 空间直角坐标系中，点 $B$ 是点 $A (3 ， 4 ， 5)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影，则 $| \vec{O B} | =$ （）

A、5 B、25 C、 $\sqrt{34}$ D、 $\sqrt{41}$

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3. 直线 $l_{1} ： (a - 1) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 4 x + (a + 2) y - 1 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；当平面不垂直于圆锥轴时得到的截面可能是椭圆．若用周长为28的矩形 $A B C D$ 截某圆锥得到椭圆 $τ$ ，且椭圆 $τ$ 与矩形 $A B C D$ 的四边恰好相切．设椭圆 $τ$ 在平面直角坐标系中的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，下列选项中满足题意的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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5. 已知 $A$ 是圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 上的动点， $P A$ 是圆的切线， $| P A | = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ B、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$

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6. 点 $P$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 上一点，则 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1 ， - \frac{1}{4}]$ C、 $[- 1 ， 0]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$

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7. 设 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + {\frac{y}{b^{2}}}^{2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，若 $F$ 关于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的对称点 $F^{'}$ 在椭圆 $C$ 上，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 已知 $A ， B$ 是圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 4 (m > 0)$ 上两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ．若存在 $a \in R$ ，使得直线 $l_{1} ： a x - y = 0$ 与 $l_{2} ： x + a y + 2 a - 4 = 0$ 的交点 $P$ 恰为 $A B$ 的中点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{5} - 2 ， 2]$ B、 $[\sqrt{5} - 2 ， \sqrt{5}]$ C、 $[2 ， 2 + \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{5} ， 2 + \sqrt{5}]$

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： (a^{2} + 3) x - 3 y + 1 = 0 (a \in R)$ ，则（）

A、直线 $l$ 不过原点 B、直线 $l$ 可能与坐标轴垂直 C、 $a = 0$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y - 1 = 0$ 垂直 D、 $a = 1$ 时，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{n} = (4 ， - 3)$

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10. 已知两圆为 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、若两圆外切，则 $r = 2$ B、若两圆有3条公切线，则 $r = 3$ C、若两圆公共弦所在直线方程为 $8 x - 6 y - 13 = 0$ ，则 $r = 4$ D、 $P$ 为圆 $C_{1}$ 上任一点， $Q$ 为圆 $C_{2}$ 上任一点，若 $| P Q |$ 的最大值为 $12$ ，则 $r = 5$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ， $F$ 为 $C$ 的右焦点， $A$ 为 $C$ 的左顶点， $P ， Q$ 为直线 $x + m y = 0$ $(m \in R)$ 与 $C$ 的两个交点，则（）

A、 $| P F |$ 的取值范围是 $(2 ， 8)$ B、 $△ F P Q$ 周长的最小值为 $18$ C、 $△ A P Q$ 的面积的最大值为 $25$ D、直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{16}{25}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， P$ 为正方体表面及内部一点，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D_{1}}$ ，其中 $x \in [0 ， 1] ， y \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $x = \frac{2}{3}$ 时，三棱锥 $P - B C_{1} D$ 的体积为定值 B、当 $y = \frac{1}{2}$ 时，直线 $B D$ 与 $A P$ 所成角正弦值的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、当 $x + y = 1$ 时， $P A_{1} + P D$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$ D、当 $2 x + y = 1$ 时，不存在点 $P$ ，使得平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B_{1} C_{1}$

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三、填空题

13. 直线 $l ： 2 x + y + 4 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距为．

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2) ， \vec{c} = (1 ， 5 ， x) ，$ 若 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $x =$ ．

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15. 如图，某公园内有一个边长为 $20 m$ 的正方形 $A B C D$ 区域，点 $M$ 处有一个路灯，点 $M$ 到 $A B$ 的距离是 $6 m$ ，到 $B C$ 的距离是 $8 m$ ，现过点 $M$ 建一条直路交正方形区域两边于点 $P$ 和点 $Q$ ，若对 $Δ P B Q$ 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为 $m^{2}$ ．

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16. 已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在第二象限交于 $A ， B$ 两点， $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $P ， Q$ 两点，且 $| A P | = | B Q | ， | P Q | = \sqrt{15}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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四、解答题

17. 如图，在正四面体 $O - A B C$ 中， $O A = 6$ ， $M$ 为棱 $O A$ 的中点， $N$ 为棱 $B C$ （靠近 $C$ 点）的三等分点，设 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ；

(2)、求 $\vec{O M} \cdot \vec{A N}$ ；

(3)、求 $M N$ 的长．

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18. 直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} ： x - y - 3 = 0$ 与 $l_{2} ： 3 x + y - 1 = 0$ 的交点，根据下列条件分别求直线 $l$ 的方程．

(1)、直线 $l$ 与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 垂直；

(2)、直线 $l$ 与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 所成的角为 $45 °$ ．

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19. 如图，某海面有 $O ， A ， B$ 三个小岛（小岛可视为质点，不计大小）， $A$ 岛在 $O$ 岛正西方向距 $O$ 岛 $30$ 千米处， $B$ 岛在 $O$ 岛北偏西 $4 5^{∘}$ 方向距 $O$ 岛 $60 \sqrt{2}$ 千米处．以 $O$ 为坐标原点， $O$ 的正东方向为 $x$ 轴的正方向， $1$ 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆 $C$ 经过 $O$ ， $A ， B$ 三点．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 区域内有未知暗礁，现有一渔船 $D$ 在 $O$ 岛的南偏东 $3 0^{∘}$ 方向距 $O$ 岛 $60$ 千米处，正沿着北偏西 $4 5^{∘}$ 方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A A_{1} = A B = 1$ ， $A B ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若三棱锥 $A_{1} - A B_{1} C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B_{1} C$ 夹角的余弦值．

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21. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 0$ ， $l_{1} ， l_{2}$ 是经过 $P (0 ， - 2)$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_{1}$ 交圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点， $l_{2}$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点．

(1)、若 $| M N | = 8$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求 $△ Q M N$ 面积的最小值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，长轴长为 $8$ ，过点 $P (2 ， 0)$ 且与 $y$ 轴平行的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过点 $P$ 的动直线（不与 $y$ 轴垂直）与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，是否在 $x$ 轴上存在定点 $Q$ ，使得 $Q A$ 与 $Q B$ 的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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