云南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $2 + i (1 - i) =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | x (x - \sqrt{2}) < 0}$ ， $B = {x | - x < - 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | x < \sqrt{2}}$ C、 ${x | 1 < x < \sqrt{2}}$ D、 ${x | x > 1}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2 ， m)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{14}{3}$ B、 $\frac{13}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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4. 一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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5. 命题 $p$ ： $\exists x \in (0 ， 2)$ ， $x^{3} > x^{6}$ .命题 $q$ ：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（）

A、 $p$ 是假命题 B、 $\neg p$ ： $\forall x \in (0 ， 2)$ ， $x^{3} < x^{6}$ C、 $q$ 是假命题 D、 $\neg q$ ：存在一个大于2的质数不是奇数

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6. 过点 $A (1 ， 3)$ 作圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 若一个长方体的长､宽､高分别为4， $\sqrt{5}$ ， 2，且该长方体的每个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、18π B、20π C、24π D、25π

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8. “ $x > l o g_{3} 4$ ”是“ $x > l o g_{9} 17$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $2 \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} ， 3 \vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， - 3 \vec{b} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{c} ， 3 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， 3 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c}$

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10. 函数 $y = \sqrt{x} + \sqrt{6 - x}$ 的值域为（）

A、 $[\sqrt{6} ， 2 \sqrt{3}]$ B、 $[\sqrt{6} ， 2 \sqrt{6}]$ C、 $[2 ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[2 ， 2 \sqrt{6}]$

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11. 设函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ ，给出下列结论：
①若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ， ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = π$ ，则 $ω = 1$ ；②存在 $ω \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称；③若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{19}{12} ， \frac{25}{12})$ ；④ $\forall ω \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增.
其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 台风中心从 $M$ 地以 $20 k m / h$ 的速度向西北方向移动，离台风中心 $10 \sqrt{39} k m$ 内的地区为危险地区，城市 $N$ 在 $M$ 地正西方向的 $80 k m$ 处，则城市 $N$ 处于危险地区内的时长为（）

A、 $\sqrt{3} h$ B、 $2 h$ C、 $\sqrt{5} h$ D、 $\sqrt{7} h$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， \sqrt{5})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{5} ， - 7)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为℃.

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15. 若直线 $l_{1} ： y = \sqrt{2} x - 2$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $l_{2} ： y = m x + 3$ 的倾斜角为 $2 α$ ，则直线 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距为， $m =$ ．

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16. 若空间中有三点 $A (1 ， 0 ， - 1) ， B (0 ， 1 ， 1) ， C (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为；点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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三、解答题

17.

(1)、求两条平行直线 $l_{1} ： 12 x - 5 y + m = 0$ 与 $l_{2} ： 12 x - 5 y + m + 13 = 0$ 间的距离；

(2)、求过点 $(- 1 ， 7)$ 且与直线 $3 x - 5 y = 0$ 垂直的直线方程.

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18. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A D$ ， $B D_{1}$ 的中点.

(1)、 $\vec{C M} \cdot \vec{B D_{1}}$ 的值；

(2)、求 $B D_{1}$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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19. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.

(1)、求甲最后没有得奖的概率；

(2)、已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{2 b + 2 c - \sqrt{3} a}{4 c}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 3$ ， $a > b$ ，求 $\sqrt{3} a - b$ 的取值范围．

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21. 已知圆 $C ： {(x + a)}^{2} + {(y - 2 a)}^{2} = 5 a^{2}$ ．

(1)、若圆C被直线 $3 x + 4 y = 0$ 截得的弦长为8，求圆C的直径；

(2)、已知圆C过定点P，且直线 $x - y + 2 a = 0$ 与圆C交于A，B两点，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} > - 4$ ，求a的取值范围．

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22. 如图1，已知 $△ A B C$ 是边长为4的正三角形， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 边的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点A到达如图2所示的点 $P$ 的位置， $M$ 为 $D P$ 边的中点.

(1)、证明： $P C$ $∥$ 平面 $M E F$ .

(2)、若平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，求平面 $M E F$ 与平面 $P D E$ 夹角的正切值.

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