天津市河东区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $l$ ： $2 x - y + 1 = 0$ 的方向向量可以是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 2 ay - 1 = 0$ ，与 $l_{2}$ ： $(2 a - 1) x - ay - 1 = 0$ 平行，则a的值是 $($ 　　 $)$

A、0或1 B、1或 $\frac{1}{4}$ C、0或 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C_{1}} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A D}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ （）

A、 $(1 ， 1 ， 1)$ B、 $(1 ， 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 1 ， - 1)$ D、 $(1 ， 0 ， - 1)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (3 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则有（）．

A、 $\vec{a} = \vec{c} - \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{c} |$ C、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$

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5. 已知点 $A (2 ， 1)$ ， $B (- 4 ， 5)$ ，则以线段AB为直径的圆的方程为（）

A、 $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ B、 $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 52$ C、 $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = \sqrt{13}$ D、 $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 2 \sqrt{13}$

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6. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 36$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、内切 D、内含

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7. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称的圆的方程是（）

A、 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 16$ B、 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ C、 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ D、 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 9$

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1 (m < 3)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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9. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x - a y + 2 a b = 0$ 相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{3})$ .

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二、填空题

10. 直线l的方程为： $x = - 3$ ，则直线l的倾斜角为．

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11. 直线 $l_{1} ： x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + 2 y - 1 = 0$ 之间的距离为.

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12. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (- 2 ， 2 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $m =$ .

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13. 已知圆 $C ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ ，直线 $l$ 过点 $P (2 ， 2)$ 且与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $△ A O B$ 的面积为．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{°}$ ， $| P F_{1} | = 5 | P F_{2} |$ ，则C的离心率为．

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15. 如图，在单位正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $A D_{1}$ 上的动点，给出以下四个命题：
①直线 $P C_{1}$ 与直线 $B_{1} C$ 所成角的大小为定值；
②二面角 $P - B C_{1} - D$ 的大小为定值；
③若Q是对角线 $A C_{1}$ ，上一点，则 $P Q + Q C$ 长度的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线 $A_{1} C$ 有可能平行．
其中真命题有（填序号）．

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三、解答题

16. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x + y - 1 = 0$ ，且与直线 $2 x - y = 0$ 相切于点 $(0 ， 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (3 ， - 3)$ 且与圆 $C$ 相交，所得弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，M是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值.

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18. 如图，在多面体ABCDEF中， $E D ⊥$ 平面ABCD， $C F / / D E$ ，四边形ABCD是平行四边形， $A D = D E = 2 D C = 2 C F = 2$ ， $B D ⊥ C D$ ， H为DE的中点．

(1)、证明： $H F ⊥$ 平面BDE；

(2)、若P是棱DE上一点，且 $D P = \frac{1}{6} D E$ ，求二面角 $B - P F - D$ 的夹角的余弦值．

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若点 $P$ 在椭圆上，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ．

(1)、求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；

(2)、求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积；

(3)、求 $P$ 点的坐标．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°， $F_{1}$ 到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的焦距；

(2)、若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ，求椭圆C的方程．

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