陕西省西安市长安区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $a > b > 0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $\sqrt{a b} < \frac{a + b}{2}$ D、 $a b > a + b$

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2. 不等式 $\frac{x - 1}{x} \geq 2$ 的解集为（）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, - 1] \cup (0, + \infty)$

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3. 在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x > 1$ ， $y > 1$ ，且 $\frac{1}{4} l n x$ ， $\frac{1}{4}$ ， $l n y$ 成等比数列，则 $x y$ 有（）

A、最大值 $e$ B、最大值 $\sqrt{e}$ C、最小值 $e$ D、最小值 $\sqrt{e}$

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5. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq - 1 \\ y \geq x \\ 3 x + 2 y \leq 5 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 1} (n \geq 2)$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $\cos C =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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8. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 6$ ， $a_{n} = 0$ ，公差 $d \in N^{*}$ ，则 $n (n \geq 3)$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 在 $△ A B C$ 中， $b c o s A = a c o s B$ ，则三角形的形状为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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10. 如图，为测量河对岸 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，沿河岸选取相距 $40$ 米的 $C$ 、 $D$ 两点，测得 $∠ A C B = 6 0^{∘}$ ， $∠ B C D = 4 5^{∘}$ ， $∠ A D B = 6 0^{∘}$ ， $∠ A D C = 3 0^{∘}$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点的距离是（）

A、 $20 \sqrt{2}$ 米 B、 $20 \sqrt{6}$ 米 C、 $40 \sqrt{2}$ 米 D、 $20 \sqrt{3}$ 米

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11. 若 $x ， y \in R^{+}$ ，且 $2 x + 8 y - x y ＝ 0$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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12. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y - 6 \leq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \\ x \geq 0 ， y \geq 0 ， \end{array}$ 若目标函数 $z = a x + b y (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的最大值为12，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{25}{6}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、4

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二、填空题

13. 若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{10}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根，若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $a_{5} + a_{8} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .若 $A = 60 °$ ， $c = 2$ ， $b = 1$ ，则 $a =$ .

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16. 已知 $x$ 、 $y \in R^{+}$ 且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知不等式 $k x^{2} - 2 x + 6 k < 0 (k \neq 0)$ ．

(1)、若不等式的解集是 ${x | x < - 3$ 或 $x > - 2}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若不等式的解集是 $R$ ，求 $k$ 的取值范围．

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2 n^{2} - 30 n$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、判断这个数列是否是等差数列.

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19. 已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证： $(\frac{a}{a + b}) \cdot (\frac{b}{b + c}) \cdot (\frac{c}{c + a}) \leq \frac{1}{8}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中,内角A､B､C的所对的边是a､b､c,若 $\cos B \cos C - \sin B \sin C = \frac{1}{2}$

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}, b + c = 4$ ,求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ， $n \in N_{+}$ ．
（Ⅰ）试求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $c_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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