山西省部分名校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线 $a x + b y + c = 0$ 的倾斜角为 $120 °$ ，则（）

A、 $a - \sqrt{3} b = 0$ B、 $a + \sqrt{3} b = 0$ C、 $\sqrt{3} a - b = 0$ D、 $\sqrt{3} a + b = 0$

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2. 两平行直线 $x - 5 y = 0$ 与 $x - 5 y - 26 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{26}$ C、5 D、 $3 \sqrt{3}$

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3. 下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A、零向量与任意向量平行 B、任意两个空间向量一定共面 C、零向量是任意向量的方向向量 D、方向相同且模相等的两个向量是相等向量

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4. 过点 $A (1 ， 3)$ 作圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径 $A B = a$ 米，深度 $M O = b$ 米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = \frac{a^{2}}{4 b} x$ B、 $y^{2} = \frac{a^{2}}{2 b} x$ C、 $x^{2} = \frac{4 b^{2}}{a} y$ D、 $x^{2} = \frac{2 b^{2}}{a} y$

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6. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 6 = 0$ 的公共点的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、不确定

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7. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $P D = 8$ ，且 $P A = P C = 4 \sqrt{5} ， M$ 为 $B C$ 的中点，则异面直线 $P B$ 与 $A M$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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8. 设抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $Q (0 ， 6)$ ，若 $| P F | = | Q F |$ ，则 $| P Q | =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、6

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9. 台风中心从 $M$ 地以 $20 k m / h$ 的速度向西北方向移动，离台风中心 $10 \sqrt{39} k m$ 内的地区为危险地区，城市 $N$ 在 $M$ 地正西方向的 $80 k m$ 处，则城市 $N$ 处于危险地区内的时长为（）

A、 $\sqrt{3} h$ B、 $2 h$ C、 $\sqrt{5} h$ D、 $\sqrt{7} h$

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10. 已知F是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆 $E ： x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 10 y + 32 = 0$ 上任意一点，则 $| M Q | - | M F |$ 的最小值为（）

A、-4 B、-3 C、-2 D、-1

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11. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $48 \sqrt{2}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ， $A A_{1} = 6$ ，底面边长均为4，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， M，N，P分别为AB， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $M N / / A P$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面BDN C、 $A P ⊥ A_{1} C$ D、 $A P / /$ 平面MNC

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12. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为6，P是四面体 $A B C D$ 外接球的球面上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为（）

A、 $[6 - 6 \sqrt{6} ， 6 + 6 \sqrt{6}]$ B、 $[9 - 9 \sqrt{3} ， 9 + 9 \sqrt{3}]$ C、 $[3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6} ， 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6}]$ D、 $[3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6} ， 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6}]$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则 $C$ 的渐近线方程为．

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14. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，且 $\vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{n} = x (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) + 2 (\vec{a} + 3 \vec{b}) + y (\vec{c} - \vec{b})$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $x - 2 y =$ ．

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15. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若 $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | = | \vec{P F_{1}} - \vec{P F_{2}} |$ ，且 $\vec{P F_{2}} = 2 \vec{F_{2} Q}$ ，则椭圆C的离心率为．

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16. 若空间中有三点 $A (1 ， 0 ， - 1) ， B (0 ， 1 ， 1) ， C (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为；点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $P (3 ， - 3)$ ，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0．

(1)、求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若直线 $l^{'} ： m^{2} x + (2 m - 3) y - 3 m - 3 = 0$ 与直线 $l$ 平行，求m的值．

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18. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} = 3 ， M ， N$ 分别是 $A D ， B D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $M N$ $∥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ .

(2)、求 $B D_{1}$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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19. 已知 $A ， B$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的两点．

(1)、若 $O$ 是坐标原点，直线 $A B$ 经过 $C$ 的右焦点，且 $O A ⊥ O B$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若线段 $A B$ 的中点为 $M (6 ， 2)$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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20. 已知圆 $M$ 的圆心坐标为 $M (6 ， n)$ ， $n > 0$ ，且圆 $M$ 与 $x$ 轴相切，并与圆 $N ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$ 外切．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若经过点 $(\frac{11}{2} ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $| P Q | = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 所截得的弦长为6.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 为第一象限内椭圆 $C$ 上一点，直线 $P F_{1} ， P F_{2}$ 与直线 $x = 8$ 分别交于 $A ， B$ 两点，记 $△ P A B$ 和 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 5$ ，求 $P$ 的坐标.

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22. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点.将 $△ A D E$ 沿DE折起，使A到达 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ， $A^{'} C$ ，得到四棱锥 $A^{^{'}} - B C D E$ .

(1)、证明： $D E ⊥ A^{^{'}} B$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - B$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 内变化时，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{^{'}} D E$ 所成角的正弦值的最大值.

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