山东省潍坊市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{C A} =$ （）

A、 $2 \vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{0}$ D、 $2 \vec{A C}$

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2. 点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到直线 $x = 1$ 的距离为1，则 $x_{0} =$ （）

A、0或2 B、1或2 C、0 D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (x ， - 2 ， 6)$ 与 $\vec{b} = (1 ， y ， - 3)$ 平行，则 $x + y =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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4. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $l_{1} / / l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交但不垂直 D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系不确定

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5. 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为 $\sqrt{5}$ ；乙：该圆经过点 $(3 ， 3)$ ；丙：该圆的圆心为 $(2 ， 1)$ ；丁：该圆经过点 $(7 ， 0)$ ．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 已知直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y + m = 0$ 经过定点P，直线 $l^{'}$ 经过点P，且 $l^{'}$ 的方向向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ，则直线 $l^{'}$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 3 = 0$ C、 $2 x - y + 3 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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7. 正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为2，点E，F分别为 $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，且已知 $A_{1} E$ 与BF所成角的大小为60°，则直线 $A_{1} E$ 与平面BCF之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知直线 $l ： a x + b y + r^{2} = 0$ ，点 $A (a ， b)$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（）

A、l与圆C相交，且 $l ⊥ m$ B、l与圆C相切，且 $l / / m$ C、l与圆C相离，且 $l ⊥ m$ D、l与圆C相离，且 $l / / m$

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二、多选题

9. 已知a，b为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β \Rightarrow a / / b$ B、 $a ⊥ α$ ， $b \subset β$ ， $α / / β \Rightarrow a ⊥ b$ C、 $α / / β$ ， $a / / b$ ， $a ⊥ α \Rightarrow b ⊥ β$ D、 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a ⊥ b \Rightarrow a ⊥ β$

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10. 关于直线 $l ： a x + y + a = 0$ ，以下说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(- 1 ， 0)$ B、 $a > 0$ 时，直线l过第二，三，四象限 C、 $a < 0$ 时，直线l不过第一象限 D、原点到直线l的距离的最大值为1

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11. 过点 $C (1 ， 1)$ 的直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于不同的两点A，B，弦AB的中点为P，曲线D为点P组成的集合，则下列各选项正确的是（）

A、 $| A B |$ 的最小值为2 B、 $△ A O B$ 可能为等腰直角三角形 C、曲线D的方程为 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ D、曲线D与圆O没有公共点

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 的平面展开图中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 2 B E = 2$ ， $∠ A B C = ∠ A B H = ∠ C B E = 90 °$ ．在四棱锥 $P - A B C D$ 中，以下结论正确的是（）

A、平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B D$ B、 $P A = \sqrt{5}$ C、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为 $4 π$ D、平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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三、填空题

13. 直线 $2 x + y - 1 = 0$ 的横截距与纵截距的和为．

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14. 已知大小为 $\frac{π}{3}$ 的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的距离为．

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15. 点P在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上运动，直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点， $△ A B P$ 面积的最大值为．

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为 $α$ ，当点N为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $α$ 截正方体的截面的面积为．点 $A_{1}$ 到平面 $α$ 的距离的最小值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， c)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求c的值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值．

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18. 已知直线 $l$ 过点 $P (2 ， \sqrt{3})$ ，且倾斜角是直线 $l^{'} ： y = - \sqrt{3} x$ 倾斜角的 $\frac{1}{2}$ 倍．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 与直线 $l^{'}$ 的交点为Q，点R在直线 $l^{'}$ 上，若三角形PQR的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求点R的坐标．

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19. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ ，圆C过点 $M (5 ， 3)$ 且与圆O相切于点 $N (1 ， 1)$ ．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值．

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20. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $P A ⊥$ 平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角 $D - P A - B$ 的大小为90°．

(1)、证明：A，B，C，D四点共面，且 $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 4$ ，设G为PC的中点，求PB与平面ABG所成角的正弦值．

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21. 在边长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体 $Ω$ ．

(1)、请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；

(2)、设 $Ω$ 的中心为O， $Ω$ 关于点O的对称的四面体记为 $Ω^{'}$ ，求 $Ω$ 与 $Ω^{'}$ 的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

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22. 已知曲线C是到两个定点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 的距离之比等于常数 $\sqrt{5}$ 的点组成的集合．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点 $Q (t ， 0)$ ，使得 $\vec{Q M} \cdot \vec{Q N}$ 为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

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