山东省日照市2022-2023学年高二上学期数学期中校际联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (2 + i) + i = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} i$

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2. 两圆 $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外离 C、外切 D、相交

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3. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2) ， \vec{c} = (1 ， 3 ， λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在OA上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为BC中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知直线 $a_{1} x + b_{1} y + 1 = 0$ 和直线 $a_{2} x + b_{2} y + 1 = 0$ 都过点 $A (3 ， 1)$ ，则过点 $P_{1} (a_{1} ， b_{1})$ 和点 $P_{2} (a_{2} ， b_{2})$ 的直线方程是（）

A、 $3 x + y + 1 = 0$ B、 $3 x - y + 1 = 0$ C、 $3 x + y - 1 = 0$ D、 $x + 3 y + 1 = 0$

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6. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的 $\frac{1}{3}$ ，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）

A、1.8cm B、2.5cm C、3.2cm D、3.9cm

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7. 如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，直线 $l ： A x + B y + C = 0$ ，且点 $P$ 不在直线 $l$ 上，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ；类比有：当点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在函数 $y = f (x)$ 图像上时，距离公式变为 $d = \frac{| A x_{0} + B f (x_{0}) + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ，根据该公式可求 $| x + 3 - \sqrt{1 - x^{2}} | + | x - 3 + \sqrt{1 - x^{2}} |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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二、多选题

9. 复数 $z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ， $z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则正确的是（）

A、 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数 B、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ C、 $z_{1}^{2} = z_{2}$ D、 $z_{1}^{3} - z_{2}^{3} = 1$

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10. 如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角 $θ = 60 °$ 的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）

A、椭圆的长轴长为8 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、椭圆的一个方程可能为 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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11. 金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有 $A E = B E = C E = D E$ ，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（）

A、 $| \vec{B E} | = \frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $| \vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} | = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $c o s 〈 \vec{E C} ， \vec{E B} 〉 = \frac{1}{3}$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{A B} = 2$

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12. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{8}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与 $A B$ 所成的角

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三、填空题

13. 若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于 $y$ 轴对称，且 $z_{1} = 2 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z_{1} z_{2} =$ .

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14. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ， $M (x_{0} ， y_{0})$ 为圆 $O$ 上位于第一象限的一点，过点 $M$ 作圆 $O$ 的切线 $l$ .当 $l$ 在两坐标轴上的截距相等时， $l$ 的方程为.

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15. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和2， $P$ 是上底面的线段 $B_{1} C_{1}$ 的上一点．若 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，则该正四棱台的高为．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若 $| A B | = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ，且 $s i n ∠ A B F_{1} \leq 2 s i n ∠ B A F_{1}$ ，则椭圆离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $z$ 是复数， $z + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位）为实数，且 $z + \bar{z} = 8$ .

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若复数 $(z + a i)^{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知直线 $2 x - 3 y + 1 = 0$ 和直线 $x + y - 2 = 0$ 的交点为 $P$ .

(1)、求过点 $P$ 且与直线 $x - 3 y - 1 = 0$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $x - 3 y - 1 = 0$ 垂直，且 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，在直角 $△ P O A$ 中， $P O ⊥ O A ， P O = 2 O A = 4$ ，将 $△ P O A$ 绕边 $P O$ 旋转到 $△ P O B$ 的位置，使 $∠ A O B = 9 0^{∘}$ ，得到圆锥的一部分，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点，且 $\overset{⌢}{A C} = \frac{1}{3} \overset{⌢}{A B}$ .

(1)、求点 $O$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(2)、设直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $φ$ ，求 $s i n φ$ 的值.

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20. 已知直线 $x - y + m = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + m = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $m > 0$ 时，求过点 $P (4 ， 4)$ 的圆 $C$ 的切线方程.

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21. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $B C D E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B E ⊥ E C$ ， $B C = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ .

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若直线 $C E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，求二面角 $E - A B - C$ 的余弦值.

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22. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A$ 、 $B$ ，又 $A$ 、 $B$ 与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为 $2$ .圆 $A ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心为椭圆的左顶点 $A$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当圆 $A$ 半径 $r = \frac{4}{3}$ 时，过椭圆外一点垂直于 $x$ 轴的圆 $A$ 的切线为 $l$ ，点 $Q$ 是椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的动点，直线 $A Q$ 、 $B Q$ 与直线 $l$ 分别交于 $G$ 、 $H$ 两点，求 $| G H |$ 的最小值；

(3)、圆A与椭圆 $C$ 交于点 $M$ 、 $N$ .点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M$ 、 $N$ 的任意一点，且直线 $P M$ 、 $P N$ 分别与 $x$ 轴交于点 $R$ 、 $S$ ， $O$ 为坐标原点.求证： $| O R | \cdot | O S |$ 为定值.

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