山东省德州市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l_{1}$ ： $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角是直线 $l_{1}$ 倾斜角的2倍，则直线 $l_{2}$ 的斜率是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 已知直线 $x + m y - 2 = 0$ 与直线 $y = n x$ 垂直，则m，n的关系为（）

A、 $m n - 1 = 0$ B、 $m n + 1 = 0$ C、 $m - n = 0$ D、 $m + n + 1 = 0$

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3. 已知 $P (1 ， \sqrt{3})$ 为双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 上点．则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知两圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = 16$ 无公共点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 5) ∪ (5 ， + \infty)$ C、 $(- 5 ， - 3) ∪ (3 ， 5)$ D、 $(- \infty ， - 5) ∪ (- 3 ， 3) ∪ (5 ， + \infty)$

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6. 如图所示，在正方形中ABCD， $A B = \sqrt{6}$ ，以AC为折痕把 $△ A B C$ 顺时针折起，折成一个大小 $θ$ 为的二面角，若 $c o s θ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $A - B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，焦距为2，过 $F_{1}$ ，且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与椭圆C交于D，E两点，则 $△ A D E$ 的周长是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、8 C、 $2 \sqrt{19}$ D、16

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8. 已知在三棱锥中， $S - A B C$ 中， $B A ⊥ B C$ ， $B A = B C = 2$ ， $S A = S C = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $B - A C - S$ 的大小为 $\frac{5 π}{6}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{56 π}{3}$ B、 $\frac{58 π}{3}$ C、 $\frac{105 π}{4}$ D、 $\frac{124 π}{9}$

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二、多选题

9. 已知曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{3 m - 2} - \frac{y^{2}}{2 m - 4} = 1$ （ $m \in R ， m \neq \frac{2}{3}$ 且 $m \neq 2$ ），则（）

A、若曲线C表示圆，则 $m = \frac{6}{5}$ B、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 $(\frac{2}{3} ， 2)$ C、若曲线C表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则m的取值范围为 $(\frac{2}{3} ， \frac{6}{5})$ D、若曲线C表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则m的取值范围为 $(- \infty ， \frac{2}{3})$

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10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（）

A、 $M N = \frac{1}{2}$ B、 $A B ⊥ C D$ C、侧棱与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线AM与CN所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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11. 双曲线具有如下光学性质：如图 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 $F_{1}$ ．若双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{21} = 1$ ，则（）

A、双曲线的焦点 $F_{2}$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{21}$ B、若 $m ⊥ n$ ，则 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 42$ C、当n过点 $Q (3 ， 6)$ 时，光线由 $F_{2} \to P \to Q$ 所经过的路程为8 D、反射光线n所在直线的斜率为k，则 $| k | \in [0 ， \frac{\sqrt{21}}{2})$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E ， F$ 分别为棱 $A B ， A D$ 的中点， $\vec{B_{1} G} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则（）

A、无论 $λ$ 取何值，三棱锥 $C - E F G$ 的体积始终为 $1$ B、若 $λ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\vec{E G} \cdot \vec{B D_{1}} = 2 + \sqrt{2}$ C、点 $D_{1}$ 到平面 $E F G$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、若异面直线 $E F$ 与 $A G$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{22}$ ．则 $λ = \frac{7}{10}$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系中，已知 $\vec{O A} = (3 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{O B} = (1 ， 0 ， 5)$ ， $\vec{O C} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $| \vec{C M} | =$ ．

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14. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ 都相切的一条直线方程．（写出一条即可）

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15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a + 1} + \frac{y^{2}}{a} = 1 (a > 0)$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 7$ ，则椭圆C的离心率为．

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16. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为： $1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + ⋯ + ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} = (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， k \geq 3)$ 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}$ ， $⋯$ ，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 4$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，点S为底面A₁B₁C₁D₁的中心，记三棱锥 $A - A_{1} B D$ 在点A处的离散曲率为 $m$ ，四棱锥 $S - A B C D$ 在点S处的离散曲率为n，则 $m - n =$ ．

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四、解答题

17. 已知圆C与x轴相切，圆心C在直线 $y = 2 x$ 上，且与 $y$ 轴正半轴相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $P (0 ， 2)$ 的直线 $l$ 交圆于C，于E，F两点，且 $| E F | = \sqrt{14}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 如图，圆柱轴截面ABCD是正方形， $A D = 2$ ，点E在底面圆周上， $A F ⊥ D E$ ， F为垂足．

(1)、求证： $A F ⊥ D B$ ；

(2)、当直线DE与平面ABE所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ 时，求三棱锥 $B - C D E$ 的体积．

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19. 已知圆M： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ ，点 $N (0 ， - 1)$ ， P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．

(1)、求点Q的轨迹方程C；

(2)、若点A是曲线C上的动点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{A N}$ 的最大值（其中O为坐标原点）．

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20. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 经过点 $P (2 ， 1)$ ，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB： $y = k x + m (k \neq 0)$ ，试求 $k$ 和 $m$ 之间满足的关系式．

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ，点D是棱BC的中点．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、在棱上AC是否存在点M，其中 $\vec{A M} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ ，使得平面 $B A_{1} D$ 与平面 $A_{1} D M$ 所成角的大小为60°，若存在，求出 $λ$ ；若不存在，说明理由．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点Q为椭圆C上任意一点，且 $| Q F |$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ ．
（注：在椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $(m ， n)$ 的切线方程为 $\frac{m x}{a^{2}} + \frac{n y}{b^{2}} = 1$ ）

(1)、求椭圆的C标准方程；

(2)、设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 6$ ，过点Q作椭圆C的切线交椭圆 $C_{1}$ 于M，N两点，求证： $△ M O N$ （O为原点）的面积为定值，并求出此定值．

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