辽宁省鞍山市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x - 7 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $9 0^{∘}$ D、 $12 0^{∘}$

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2. 在空间直角坐标系中，已知 $A (1 ， 2 ， 3)$ ， B（-2，-1，6）， $C (3 ， 2 ， 1)$ ， $D (4 ， 3 ， 0)$ ，则直线 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系是（）

A、垂直 B、平行 C、异面 D、相交但不垂直

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3. 过点 $(2 ， 0)$ 且与直线 $2 x - 4 y - 1 = 0$ 垂直的直线的方程是（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $x - 2 y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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4. 过点 $P (2 ， 4)$ 引圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线，则切线的方程为（）

A、 $x = - 2$ 或 $4 x + 3 y - 4 = 0$ B、 $4 x - 3 y + 4 = 0$ C、 $x = 2$ 或 $4 x - 3 y + 4 = 0$ D、 $4 x + 3 y - 4 = 0$

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5. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{c} = (7 ， 6 ， z)$ ，若三向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共面，则实数 $z =$ （）

A、1 B、-9 C、-3 D、-1

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6. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 14 x - 2 y + a = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有且仅有一个公共点，则实数 $a$ 等于（）

A、14 B、34 C、14或45 D、34或14

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7. 已知圆 $C ： (x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 10$ ，若直线 $l ： y = k x - 2$ 与圆交于 $P ， Q$ 两点，则弦长 $| P Q |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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8. 如图，已知正四面体ABCD中， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 1, 0)$ ，则与 $\overset{⇀}{a}$ 共线的单位向量 $\overset{⇀}{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0, 1, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(1, 1, 1)$

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10. 若圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A$ 、 $B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上一动点，则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 $A - B D - C$ ，则（）

A、 $A C$ ⊥ $B D$ B、 $△ A C D$ 是等边三角形 C、AB与平面BCD所成的角为60° D、AB与CD所成的角为90°

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12. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线 $l_{1} ： a x + 3 y + 6 = 0 ， l_{2} ： 2 x + (a + 1) y + 6 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x = b^{2} - 1 (b > 0)$ 的位置关系是“平行相交”，则实数 $b$ 的取值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A O} =$ ．

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14. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 2 a = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + a y + 3 = 0$ 互相平行，则实数 $a =$ ．

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15. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = B C = 2$ ． M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为．

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16. 若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{4 x - x^{2}} - k x + 4 k - 3 = 0$ 有且只有两个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 的斜率为 $- \frac{3}{4}$ ，且直线 $l$ 经过直线 $k x - y + 2 k + 5 = 0$ 所过的定点 $P$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 平行于直线 $l$ ，且点 $P$ 到直线 $m$ 的距离为 $3$ ，求直线 $m$ 的方程．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形，AB＝2， $∠ B A D = 60 °$ ．

（Ⅰ）求证： $B D ⊥$ 平面PAC；

（Ⅱ）若 $P A = A B$ ，求 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；

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19. 已知圆 $N$ 经过点 $A (3 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ，且它的圆心在直线 $3 x - y - 2 = 0$ 上.

(1)、求圆 $N$ 关于直线 $x - y + 3 = 0$ 对称的圆的方程；

(2)、若点 $D$ 为圆 $N$ 上任意一点，且点 $C (3 ， 0)$ ，求线段 $C D$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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20. 如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA₁=6，点E、F分别为CA₁、AB的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求 $B_{1} F$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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21. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1交于M ， N两点．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O N}$ ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为棱 $P B$ 上一点（不与 $P$ 、 $B$ 重合），平面 $A D E$ 交棱 $P C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A D / / E F$ ；

(2)、若平面 $A B C$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{20}$ ，求点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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