江西省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $l ： x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、150° C、120° D、60°

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 2 ， 2 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c} =$ （）

A、 $(\frac{2}{3} ， - \frac{2}{3} ， - \frac{1}{3})$ B、 $(- 2 ， 1 ， - 3)$ C、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{1}{3} ， - 1)$ D、 $(2 ， - 2 ， - 1)$

查看试题解析
3. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $F$ 是棱 $P D$ 的中点，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A P} - \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{A P} + \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A P} - \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A P} + \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A D}$

查看试题解析
4. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (3 ， y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上， $O$ 为坐标原点，若 $| A F | = 6$ ，则 $| O A | =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{5}$ C、6 D、 $6 \sqrt{5}$

查看试题解析
5. 已知 $P (m ， n)$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 23 = 0$ 上的一点，则 $\sqrt{(m - 1)^{2} + n^{2}}$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{2} - 2$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点.若 $| P A | = | P B |$ ，则直线 $l$ 的斜率是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析
7. 已知圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ ，一条光线从点 $A (- 1 ， 3)$ 处射到直线 $l ： x + y = 0$ 上，经直线 $l$ 反射后，反射光线与圆 $C$ 有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 0] ∪ [\frac{3}{4} ， + ∞)$ B、 $[0 ， \frac{3}{4}]$ C、 $(- \infty ， 0] ∪ [\frac{4}{3} ， + \infty)$ D、 $[0 ， \frac{4}{3}]$

查看试题解析
8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 90 ° ， P B = P C = 2 \sqrt{5}$ ，二面角 $P - B C - A$ 的正切值为 $- 2 \sqrt{2} ， D$ 在棱 $P C$ 所在的直线上，则点 $A$ 到直线 $B D$ 的距离的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{16}{9}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{11 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 的实轴长是虚轴长的3倍，则 $m$ 的值可能是（）

A、-1 B、2 C、 $\frac{21}{4}$ D、12

查看试题解析
10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， \sqrt{3} ， 3) ， | \vec{b} | = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 同向，则 $\vec{b} = (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ B、若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 反向，则 $\vec{b} = (- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{3}{2})$ C、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则 $⟨ \vec{b} ， \vec{a} - 2 \vec{b} ⟩ = 6 0^{∘}$ D、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = 6 0^{∘}$

查看试题解析
11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点， $F$ 是线段 $C D_{1}$ 上的动点，则（）

A、 $A_{1} F ⊥ B_{1} D$ B、三棱锥 $E - A_{1} B F$ 的体积是定值 C、异面直线 $A F$ 与 $A_{1} B$ 所成角的最小值是 $\frac{π}{3}$ D、直线 $A_{1} F$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值的最小值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 的曼哈顿距离 $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，则下列结论正确的是（）

A、若点 $P (2 ， 4) ， Q (- 2 ， 1)$ ，则 $d (P ， Q) = 7$ B、若点 $M (- 1 ， 0) ， N (1 ， 0)$ ，则在 $x$ 轴上存在点 $P$ ，使得 $d (P ， M) + d (P ， N) = 1$ C、若点 $M (2 ， 1)$ ，点 $P$ 在直线 $x - 2 y + 6 = 0$ 上，则 $d (P ， M)$ 的最小值是3 D、若点 $M$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，点 $N$ 在直线 $2 x - y + 8 = 0$ 上，则 $d (M ， N)$ 的值可能是4

查看试题解析

三、填空题

13. 写出一个与 $y$ 轴相切，且圆心在 $x$ 轴上的圆的方程：.

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (m ， 2 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ .

查看试题解析
15. 已知点 $D$ 在平面 $A B C$ 内， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，且 $\vec{O D} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} (x + y > 0 ， z > 0)$ ，则 $\frac{1}{x + y} + \frac{4}{z}$ 的最小值是.

查看试题解析
16. 数学家Dandelin用来证明一个平面截圆柱得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.如图，在圆柱内放两个大小相同的小球 $O_{1} ， O_{2}$ ，使得两球球面分别与圆柱侧面相切于以 $B C ， D E$ 为直径且平行于圆柱底面的圆 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ ，两球球面与斜截面分别相切于点 $F ， F^{'}$ ，点 $P$ 为斜截面边缘上的动点，则这个斜截面是椭圆.若图中球的半径为3，球心距离 $| O_{1} O_{2} | = 8$ ，则所得椭圆的离心率是.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： (m - 1) x + (2 m + 1) y - 3 m = 0$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $(- 1 ， - 1)$ ，且直线 $l_{1} / / l_{2}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离是2，求 $m$ 的值.

查看试题解析
18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $\vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B E}$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 3 ， ∠ B A C = ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 6 0^{∘}$ ，求 $| \vec{B E} |$ .

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，双曲线 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 4$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $D (4 ， 0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$ ，求弦长 $| A B |$ .

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A B ， A D ∥ B C ， A D ⊥ A B ， E$ 是棱 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ .

(2)、若 $A B = B C = 2 A D = 2$ ，点 $F$ 在棱 $P C$ 上，求平面 $A D F$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值的最小值.

查看试题解析
21. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若 $| A B | = \frac{8 \sqrt{5}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

(2)、记点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C$ （异于点 $A ， B$ ），试问直线 $B C$ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $B (2 ， \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $| A B | = \sqrt{39}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、设过点 $M (- 4 ， 2 \sqrt{3})$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ （异于 $A ， B$ 两点）两点，直线 $A P ， A B$ ， $A Q$ 分别与 $y$ 轴交于 $G ， H ， I$ 三点.证明： $H$ 是线段 $G I$ 的中点.

查看试题解析